Лекция 16

Тема: Разложение 2Ɩ периодических функций в ряд Фурье. Разложение функций, заданных в промежутке (0, Ɩ), в ряд Фурье.

16.1 Разложение 2 ɩ периодических функций в ряд Фурье.

Пусть f(x) – 2Ɩ периодическая функция. Сделаем замену переменной x= t, в результате получим периодическую функцию , которую по известным формулам разложим в ряд Фурье.

, где

Теперь сделаем обратную замену где

Теорема Дирихле остаётся справедливой и для 2Ɩ периодической функции, только выполнение условий теоремы надо проверить в промежутке (-Ɩ ; Ɩ)

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Данная функция в промежутке (-2;2) удовлетворяет всем условиям теоремы Дирхиле, поэтому она разлагается в ряд Фурье, который в точках непрерывности сходится к значению функции, а в точках разрыва первого рода сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. Данную функцию периодически продолжим с периодом 4.

На чертеже изображён график суммы ряда Фурье.

Найдём коэффициент ряда Фурье Ɩ=2.

При вычислении интеграла учтено, что , при

16.2. Разложение четных и нечетных 2Ɩ периодических функций в ряд Фурье.

1) Пусть является четной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

2) Пусть является нечетной функцией, т.е. тогда

и ряд Фурье запишется в следующем виде:

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. В данном примере Ɩ=1. Все условия теоремы Дирихле для данной функции в промежутке (-1,1) выполняются, поэтому функция разлагается в ряд Фурье. Данную функцию периодически продолжим с периодом 2.

На чертеже мы изобразили график суммы ряда Фурье. Так как является четной функцией, то

Далее, . Для вычисления последнего интеграла надо дважды применить формулу интегрирования по частям.

Теперь запишем ряд Фурье для данной функции

.

16.3. Разложение функций, заданных в промежутке (0, Ɩ) в ряд Фурье.

Данную функцию можно продолжить в промежуток (-Ɩ, Ɩ) различными способами. Отметим, что вычислений будет меньше, если функцию продолжить в промежуток (-Ɩ, Ɩ) четным или нечетным способом, так как половина коэффициентов будет равна 0. Затем, полученную функцию надо периодически продолжить с периодом 2Ɩ.

Пример 3. Разложить функцию в ряд Фурье по .

Решение. Так как данную функцию требуется разложить в ряд Фурье по синусам, то ее надо продолжить на промежуток (-3, 3) нечетным образом, а затем функцию продолжить периодически с периодом 6.

На чертеже изображен график суммы ряда Фурье рассматриваемой функции.

Так как данную функцию продолжили нечетным способом, то

Литература:

1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.2. 2004г.

2. М.П. Краснов. А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко «Функции комплексного переменного. Операцинное исчисление. Теория устойчивости» 1981 г.

3. И.И. Привалов «Введение в теорию комплексного переменного.» 1960 г.

4. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат «Методы теории функций комплексного переменного» 1958 г.

84