12.5. Интеграл Коши

Пусть G есть односвязная область, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г, а является аналитической в Ḡ. Это означает, что является аналитической в некоторой области G’ содержащей G.

Ф ормула Коши связывает значение функции во всякой внтутренней точке z области G со значениями данной функции на границе области G. Это означает, что значение аналитической функции на Г вполне определяют значения этой функции в области G.

Формула Коши имеет вид:

Доказательство формулы Коши.

Рассмотрим произвольную точку и функцию Функция является аналитической в области Ḡ, кроме точки . Рассмотрим окружность γ с центром в точке z произвольно малого радиуса такую, что γ лежит внутри G. Функция будет аналитической во всех точках, лежащих между контурами Г и γ, включая сами контуры. Можно доказать, что

(5)

Последнее равенство показывает, что не зависит от радиуса γ и является постоянным числом, равным . Функция стремится к определенному конечному пределу при . Имеем:

Если положить становится непрерывной в Ḡ, т.е. , такое, что

. Учитывая последнее неравенство, будем иметь:

,откуда следует, что , т.к. можно взять сколь угодно малым, т.е.

Но

12.6. Особые точки. Вычеты.

Определение 1. Точка называется изолированной особой точкой однозначной функции , если существует окрестность точки (с исключенной точкой ), в которой аналитична.

Различают три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции в их окрестности:

1. Точка называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел

2. Точка называется полюсом, если является бесконечной большой при , т.е.

3. Точка называется существенно особой точкой, если не существует.( кроме случая(2)).

Определение 2. Вычетом функции в изолированной особой точке называется число

, которое обозначается , где достаточно малая окружность , причём величина вычета не зависит от при достаточно малых

Лекция 13

Тема: Операционное исчисление.

13.1 Преобразование Лапласа.

Определение 1. Функцией – оригиналом называется комплексная функция f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющая следующим условиям:

1. f(t) непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) или её производные терпят разрыв 1-го рода, причем на каждом конечном интервале оси t таких точек имеется лишь конечное число.

2. При t<0, f(t)=0

3. f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные, M, , , что для всех t выполняется неравенство

Число называется показателем роста f(t), для ограниченных функций =0.

Простейшей функцией оригиналом является единичная функция

Если функция удовлетворяет условиям 1) и 3), но не удовлетворяет условию 2), то произведение удовлетворяет всем условиям 1), 2), 3). Например, оригиналами будут функции и т.д. Для простоты записи множитель будем опускать, условившись, что все функции f(t), при t<0 равны 0. Например, вместо будем писать 1, вместо будем писать и т.д.

Определение 2: Изображением функции f(t) по Лапласу называют функцию комплексного переменного , определенную отношением:

Фразу: «функция f(t) имеет своим изображением F(p)» будем записывать символом или .

Пример 1: . Действительно 1 .

Пример 2: Имеем:

Непосредственно из свойств интеграла получаем:

1. Свойство линейности.

, где

Пример 3:

2. Теорема подобия.

. Доказательство. =

В интеграле сделаем замену

= .

3. Дифференцирование оригинала.

Если или вообще является оригиналом, то или

, где под понимаем правое предельное значение .

4. Дифференцирование изображения.

5. Интегрирование оригинала.

6. Интегрирование изображения.

, где путь интегрирования лежит в полуплоскости .

Пример 4. Найти изображение функции

Из примера 2 и свойства 1 имеем: Пользуясь свойством 6, получаем

.

Пример 5.

Пример 6.

Таблица оригиналов и изображений

№ n/n	Оригинал	Изображение
1	1
2	(n=1, 2, …)
3	(
4	(
5
6
7	(
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19	sin(t- ) (
20	cos(t- )
21
22
23
24	Erf
25	Si t =
26	Ci t = -	ln
27		ln
28	(
29
30