Лекция 10

Тема: Ряды с комплексными членами. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Нахождение круга сходимости степенного ряда. Определение функций Формулы Эйлера.

10.1. Ряды с комплексными членами.

Определение 1. Выражение вида z₁+z₂+…+z_n+…= , где – комплексные числа, называется рядом с комплексными членами.

Ряды с действительными членами являются частным случаем рядов с комплексными членами.

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм, т.е. если существует предел , где Если же не существует, то ряд называется расходящимся. Если ряд сходится, то S называется суммой ряда.

Каждому ряду с комплексными членами

(1)

соответствует два ряда с действительными членами

(2)

, (3)

где , ,…,

Теорема 1. Для того, чтобы ряд (1) с комплексными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда (2) и (3) с действительными членами.

Теорема 2. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то предел общего члена ряда равен 0, т.е. .

Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится. Необходимый признак не является достаточным. В самом деле, ряд расходится, хотя общий член стремится к нулю.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Ряд = является знакочередующимся и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница, следовательно, он сходится.

По признаку Лейбница сходится и ряд

. По теореме 1 данный ряд сходится.

10.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Определение 3. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. если сходится ряд .

Определение 4. Ряд называется условно сходящимся, если данный ряд сходится, а ряд , составленный из модулей членов данного ряда расходится.

Примером абсолютно сходящегося ряда может служить ряд . В самом деле, ряд из модулей членов данного ряда является рядом Дирихле S=2>1, который сходится.

Примером условно сходящегося ряда может служить ряд . В примере 1 показано, что рассматриваемый ряд сходится. Рассмотрим ряд , составленный из модулей членов данного ряда, , который расходится. Следовательно, ряд сходится условно.

10.3. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля. Нахождение круга сходимости степенного ряда.

Ряд вида , где - комплексные числа , , , называется степенным рядом с комплексными членами.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , , то он сходится и при том абсолютно в круге .

10.4. Нахождение круга сходимости степенного ряда.

Рассмотрим ряд , который составлен из модулей членов данного ряда. Полученный ряд является знакоположительным рядом, и к нему можно применить либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Вначале применим признак Даламбера, т.е. найдем

.

Это означает, что данный ряд сходится в круге с центром в точке радиуса R,а вне этого круга ряд расходится. В точках окружности ряд может сходиться, а может и расходиться.

Теперь к ряду применим признак Коши.

Найдем предел

Если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится.

Следовательно, данный ряд сходится в круге с центром в точке радиуса R,а вне этого круга ряд расходится. В точках окружности ряд может сходиться, а может и расходиться.

Пример 2. Найти круг сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на границе круга сходимости.

Решение. Рассмотрим ряд , к которому применим признак Коши. Найдем При ряд сходится, а при расходится. Следовательно, является кругом сходимости с центром в точке и радиуса 1.

Возьмем произвольную точку на границе круга сходимости, т.е. и рассмотрим данный степенной ряд в точке , т.е. ряд , который проверим на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из модулей членов последнего ряда, т.е. рассмотрим ряд , который сходится. Следовательно, ряд в каждой точке окружности сходится абсолютно.