45. Ланжевен теңдеуі

Бұл теңдеу үлестірілу функциясының уақыттағы өзгерісін диффузиялық жуықтауда өрнектейді. Оны бірнеше əдіспен, оның ішінде іргелі физикалық принциптері негізінде, алуға болады. Ал феноменология тұрғысынан оны диффузия теңдеуіне ұқсатып алуғы болады. Диффузия теңдеуінің негізінде үздіксіздік теңдеуіне қанағаттандыратын кейбір шаманың, мысалы масса тығыздығының (ρ), ағыны сол шаманың градиентіне пропорционал болып табылады деген болжау жатыр: vJrrρ=ρ∇−=−∇=∂ρ∂DJ;Jtrr, мұндағы D пропорционалдық коэффициенті диффузия коэффициенті деп аталады, ол əсерлесетін бөлшектердің қасиеттеріне тəуелді болады. Jr үшін өрнекті үздіксіздік теңдеуіне қойып, диффузия теңдеуін аламыз. Тығыздықтың орнына жылдамдықтың үлестірілу функциясын қолданып: vvvfDJ;Jtf∇−=−∇=∂∂rr, диффузия коэффициенті туралы физикалық болжауларды жасап, Фоккер-Планк теңдеуін алуға болады:

)]t,v(f)t,v([v21)]t,v(f)t,v(a[vt)t,v(f222σ∂∂+∂∂−=∂∂, (12)

мұндағы a(v,t) – үйкеліс күші, σ – жылдамдықтар дисперсиясы. Үйкеліс күші мынаған байланысты пайда болады. Көршілес жұлдыздардан тез қозғалатын жұлдыз олардың орбиталарын былай етіп ауытқытады: тез қозғалатын жұлдыздың артында жұлдыздар санының орташа тығыздығы өседі, ал оның алдындағы орташа тығыздық азаяды. Бұның нəтижесінде мұндай жұлдыз артында оны тежететін артық гравитациялық күш пайда болады. Əр жұлдызға флуктуациялайтын орташа күш (ол орташаланған алыс жұлдыздар жағынан əсер ететін күш пен ең жақын көршілер жағынан əсер ететін флуктуациялайтын күштің қосындысына тең) əсер етеді деп болжап, жəне жоғарыда енгізілген жұлдыз жылдамдығына пропорционал тежегіш күшті еске алып, жұлдыз үшін Ньютонның екінші заңын былай жазуға болады: )t(β)t(vdtvdmβ+α−=rrr. (13)

Бұл теңдеу Ланжевен теңдеуі деп аталады. Фоккер-Планк теңдеуі осы теңдеуден де шығады. Бірлік массаға əсер ететін (13)-гі тежегіш күш (12) теңдеудегі үйкеліс күші болып табылады. Теңдеуден көрінетіндей, жылдамдық екі себептен өзгереді: үздіксіз əрекеттен (бірінші мүше) жəне стохастикалық күштің əсерінен (екінші мүше).

Үйкеліс күші нолге тең, ал σ жылдамдыққа тəуелсіз болған жағдайда, (12) теңдеу əдеттегі (тек координаттар кеңістігіндегі емес, жылдмадықтар кеңістігіндегі) диффузия теңдеуіне айналады: 222vf2tf∂∂σ=∂∂.

Фоккер-Планк теңдеуі Марков жүйелері (яғни жады жоқ жүйелер) үшін жарамды болып табылады. Мұндай жүйелерде соқтығулар арасындағы уақыт соқтығу уақытынан (оның ішінде соқтығысып жатқан бөлшектердің бір біріне əсері елеулі болып табылатын уақыт аралығынан) айтарлықтай көп болады, яғни əр соқтығу одан кейнгі соқтығу басталудың алдында бітіп үлгіреді де, соқтығуларды бөлшектің орбитасын өзгертетін кездейсоқ импульстер ретінде қарастыруға болады. Сондықтан мұндай жүйенің эволюциясын кез-келген уақыт мезетінен бастап зерттеуге болады (бастапқы мезеті ретінде кез-келген мезетті алуға болады), жүйенің бұл мезеттен кейінгі дамуы оның алдындағы эволюциясына тəуелсіз болады, яғни кейінгі эволюцияны өрнектеу үшін оның алдында не болғанын білу керек емес, өйткені жүйенің жадысы жоқ. Дəл соған байланысты Фоккер-Планк теңдеуі Больцман теңдеуі сияқты??? дифференциалды-интегралды емес, таза дифференциалды теңдеу болып табылады, оның шешімі уақыт бойынша локальды сипатта болады.

Тағы бір айта кететін жай, көрініп тұрғандай, (12) теңдеудегі үлестірілу функция тек жылдамдықтың модуліне тəуелді, ал оның бағытына байланыссыз болып табылады, яғни бұл теңдеу тек абсолютті изотропты жүйелер үшін жарамды болады. Бұл шарт соқтығулар арасындағы уақыт ірімасштабты??? қозғалыстардың сипатты уақытымен салыстырғанда өте аз болғанда орындалады, өйткені бұл жағдайда бөлшектер кездейсоқ түрде барлық бағыттарда шашырап, изотроптық түрде (бағытқа тəуелсіз, барлық бағыттарда бірдей) қозғалатын болады (жалпы, əдеттегі диффузия бөлшектер бір-бірімен соқтығысып, бейберекет жылулық қозғалғанның нəтижесінде болатынын естерімізге алсақ, диффузиялық жуықтау жарамдылығының бұл шарты түсінікті болады).

(12) түріндегі Фоккер-Планк теңдеу жарамдылығының тағы бір шектеуі – үлестірілу функция біртекті (яғни координаттарға тəуелсіз) болу тиіс. Бірақ Фоккер-Планк теңдеуін анизотропты үлестірілу функциясы үшін жəне алтыөлшемді фазалық кеңістіктегі (координаттарға да тəуелді) үлестірілу функциясы үшін жалпылауға болады.