41. Соқтығулар бар болғандағы Больцман теңдеуі

Сөйтіп, (8)—ң оң жағында тұрған ноль көздер мен науалардың жоқтығын жəне қарастырылып отырған фазалық ұяшықтағы (көлемшедегі) бөлшектердің саны басқа да себептерден кенет өзгермейтінін көрсетеді. Бірақ орташа гравитациялық өріске қоса əр бөлшекке басқа бөлшектердің кездейсоқ түрде болатын жақын ұшып өтуі де (соқтығулар) əсер етуі мүмкін. Бұл соқтығулар бөлшектер траеткроиясы мен жылдамдықтарың кенет өзгеруіне əкеледі, сондықтан соқтығулар орын алса, бөлшектер біздің көлемшеге шұғыл еніп, одан шұғыл шығып кетуі мүмкін, ал бұл жағдайда (8) теңдеу орындалмайды (үлестірілу функциясының толық туындысы нольге тең болмайды): болады, жəне кQнQNdN'dNΔ+=NΔ-ң түрі соқтығулардың (немесе шашыраудың) нақтылы түріне сай болуы тиіс. Соқтығулар бар болған жағдайда Больцман теңдеуге оларды сипаттайтын соқтығу мүшесі (Stf, Штосс-мүше) енгізіледі. Оның физикалық табиғаты мынадан көрінеді: Stf фазалық кеңістіктің берілген ұяшығына енетін бөлшектер саны мен одан шығып кететін бөлшектер санының айырмасына тең. Сөйтіп, жалпылау түрде Больцман теңдеуін былай жазуға болады:

нкvQQStffvfvtf++=∇+∇+∂∂&rr, (10)

Вириал теоремасы бойынша (оны, мысалы, Больцманның соқтығусыз теңдеуінен де алуға болады), гравитациялық қүштер арқылы байланыстырлған кез-келген тепе-теңдіктегі?? дененің (жүйенің) уақыт бойынша орташаланған потенциялық гравитациялық энергия денені (жүйені) құрайтын бөлшектер қозғалысының уақыт бойынша орталанған екі еселенген кинетикалық энергиясына тең: . Бұл өрнекке бөлшектердің ішкі энергиясы кірмейтінін атап айту керек. Бұл жұлдыздық жүйенің газ бен плазмадан елеулі айырмашылығы болып табылады: газ бен плазмада бөлшектің кинетикалық энергиясы оның потенциялық энергясынан өте көп болады да, соқтығулар арасында бөлшек еркін дерлік қозғалады, сондықтан бөлшектердің соқтығуға дейінгі жəне соқтығудан кейінгі траекториялары түзусызықты дерлік болады. Бұған байланысты газ бен плазма үшін соқтығу мүше жергілікті (локальды) болып табылады (траекторияның өзгерісі тек бөлшектер бір біріне тығыз жақындағанда болады), ал жұлдыздық жүйеде ол əр нүктеде барлық жұлдыздардың үлестірілуіне тəуелді болады, сондықтан ол өте күрделі болады. кинGE2U−=

(8) түріндегі Больцманның соқтығусыз теңдеуі қарапайым болып көрінеді, бірақ ол жалған қарапайымдық. Бұл теңдеу орта гравитациялық күш сыртқы əрекетпен себептелетін жүйелер үшін f функция бойынша сызықты болып табылады. Бірақ гравитирующих жүйелерде орта өріс өз ұйымдасу түрінде f функцияға тəуелді болып, ішкі күштермен себептеледі. Бұл есепті күрделетіп, жүйенің тривиал емес жүрісін ықтимал етеді. Үлестірілу функция Больцман теңдеуге градиенті үдеуге тең (φ∇=v&r) гравитациялық потениал үшін Пуассон теңдеуі арқылы сызықты емес түрде кіреді:

vd)t,v,r(fmG4G4)t,r(2rrrr∫−=−=∇πρπφ. (11)

Бұл теңдеулер көмегімен, мысалы, галактикалар шоғырланулары, жұлдыздардың шартəрізді шоғырланулары мен галактикалар ядроларының аппроксимация ретінде стационар сфералық жүйедегі заттың үлестірілуін табуға болады. Бұл теңдеулер айналатын галактикалардың шиыршықты құрылымын да өрнектеу үшін пайдалы болады.

43. Вириал теоремасы бойынша (оны, мысалы, Больцманның соқтығусыз теңдеуінен де алуға болады), гравитациялық қүштер арқылы байланыстырлған кез-келген тепе-теңдіктегі?? дененің (жүйенің) уақыт бойынша орташаланған потенциялық гравитациялық энергия денені (жүйені) құрайтын бөлшектер қозғалысының уақыт бойынша орталанған екі еселенген кинетикалық энергиясына тең: . Бұл өрнекке бөлшектердің ішкі энергиясы кірмейтінін атап айту керек. Бұл жұлдыздық жүйенің газ бен плазмадан елеулі айырмашылығы болып табылады: газ бен плазмада бөлшектің кинетикалық энергиясы оның потенциялық энергясынан өте көп болады да, соқтығулар арасында бөлшек еркін дерлік қозғалады, сондықтан бөлшектердің соқтығуға дейінгі жəне соқтығудан кейінгі траекториялары түзусызықты дерлік болады. Бұған байланысты газ бен плазма үшін соқтығу мүше жергілікті (локальды) болып табылады (траекторияның өзгерісі тек бөлшектер бір біріне тығыз жақындағанда болады), ал жұлдыздық жүйеде ол əр нүктеде барлық жұлдыздардың үлестірілуіне тəуелді болады, сондықтан ол өте күрделі болады. кинGE2U−=

(8) түріндегі Больцманның соқтығусыз теңдеуі қарапайым болып көрінеді, бірақ ол жалған қарапайымдық. Бұл теңдеу орта гравитациялық күш сыртқы əрекетпен себептелетін жүйелер үшін f функция бойынша сызықты болып табылады. Бірақ гравитирующих жүйелерде орта өріс өз ұйымдасу түрінде f функцияға тəуелді болып, ішкі күштермен себептеледі. Бұл есепті күрделетіп, жүйенің тривиал емес жүрісін ықтимал етеді. Үлестірілу функция Больцман теңдеуге градиенті үдеуге тең (φ∇=v&r) гравитациялық потениал үшін Пуассон теңдеуі арқылы сызықты емес түрде кіреді:

vd)t,v,r(fmG4G4)t,r(2rrrr∫−=−=∇πρπφ. (11)

Бұл теңдеулер көмегімен, мысалы, галактикалар шоғырланулары, жұлдыздардың шартəрізді шоғырланулары мен галактикалар ядроларының аппроксимация ретінде стационар сфералық жүйедегі заттың үлестірілуін табуға болады. Бұл теңдеулер айналатын галактикалардың шиыршықты құрылымын да өрнектеу үшін пайдалы болады.