33. И 39. Орта қозғалысын қарастырудың Эйлер жəне Лагранж тəсілдері

Кейбір ортаның қозғалысын қарастырғанда екі тəсілді қолдануға болады: 1) сұйықтық күйін сипаттайтын шамалардың (мысалы жылдамдықтың, температураның, тығыздықтың, т.с.с.) кеңістіктің берілген (координаттары бекітілген) нүктедегі өзгеруін қарастыруға болады (осы жағдайда сұйықтық сипаттамалары қозғалмайтындай етіп бекітілген құралмен өлшенеді) (бұл тəсіл Эйлер тəсілі деп аталады); 2) сұйықтықтың əр бөлшегінің (немесе сұйықтық элементінің (сұйықтықтың қалап алынған бөлшектерінің (бұл бөлшектер ұқсас қозғалу тиіс) айтарлықтай санын кіргізетін көлемшесінің)) қозғалысын бақылауға, яғни координаттары уақытта өзгеретін əр бөлшекті сипаттайтын параметрлердің өзгерісін қарастыруға болады (сипаттамалар ағынмен бірге қозғалатын құрал көмегімен өлшенеді) (Лагранж тəсілі).

Кейбір φ(M,t) шаманың берілген М нүктедегі уақыт ағысымен өзгерісін дербес (немесе локальды, жергілікті) деп аталатын туындымен сипаттайды:

t)t,M()tt,M(tlim0tΔϕ−Δ+ϕ=∂ϕ∂→Δ (1)

Оны есептеген кезде М нүкте бекітілген (қозғалмайды) деп қарастырылады.

Берілген бөлшек (элемент) үшін φ(M,t) шаманың уақыттағы өзгерісі толық (немесе материялық) деп аталатын туындымен сипатталады, оны былай анықтайды. М деп берілген нүктенің t уақыт мезетіндегі орналасуын, ал М’ деп сол бөлшектің t+Δ t уақыт мезетіндегі орналасуын белгілейік. φ-ң уақыт бойынша толық туындысы деп

t)t,M()tt,'M(dtdlim0tΔϕ−Δ+ϕ=ϕ→Δ (2)

шама аталады. Толық пен жергілікті туындылар арасындағы байланысты табу үшін, материялық туындыны есептегенде, М нүктенің x,y,z координаттары уақыттын функциялары, ал олардың уақыт бойынша туындылары ағынның М нүктедегі жылдамдығының құраушылары болып табылатынын еске алуымыз керек. Сондықтан, φ=φ(x,y,z,t) –ді t-ң күрделі функциясы ретінде дифференциалдап, мынаны аламыз:

zyxzyxvzvyvxtvdtdz,vdtdy,vdtdxdtdzzdtdyydtdxxtdtd∂ϕ∂+∂ϕ∂+∂ϕ∂+∂ϕ∂=====∂ϕ∂+∂ϕ∂+∂ϕ∂+∂ϕ∂=ϕ, (3)

яғни

ϕ∇+∂ϕ∂=ϕ+∂ϕ∂=ϕ),v(t)grad,v(tdtd, (4)

мұнда ),v(∇деп zvyvxvzyx∂∂+∂∂+∂∂ оператор, яғни vжылдамдық пен ∇символдық векторының «скалярлық көбейтіндісі» белгіленген.

Яғни қозғалыстағы элемент үшін φ мəнінің уақыттағы толық өзгерісі φ кеңістіктің əр (бекітілген) нүктесінде уақытта өзгертінімен, оған қоса кеңістікте де өзгеретінімен (бұл өзгерістерді элемент қозғалып, кеңістіктің бір нүктесінен басқа нүктесіне өткенде φ-ң уақыттағы өзгерісі ретінде сезеді) себептеледі. φ-ң кеңістіктегі өзгеруінің уақыт бойынша толық туындыға үлесі бұл шама кеңістікте қаншалықты тез өзгеретініне (grad φ) жəне бөлшек бір нүктеден басқа нүктеге қаншалықты тез өтетініне (v) байланысты болады.

Көрсетілгенге ұқсас векторлық А(M,t) шама үшін де дербес жəне толық туындылар ұғымын енгізуге болады:

A),v(tAzAvyAvxAvtAdtAdzyx∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

35. И 40. Фазалық кеңістік

Алтыөлшемді фазалық кеңістіктің, яғни координаттар мен жылдамдықтардың алтыөлшемді кеңістігінің ұғымын енгізейік. Бөлшектің қозғалыс күйіне (яғни оның берілген уақыт мезетіндегі координттары мен жылдамдығына) фазалық кеңістіктегі бір нүкте сəйкес келеді, оның орналасуы 6 координат арқылы анықталады: үш əдеттегі кеңістіктік координат пен жылдамдықтың (немесе импульстің) үш құраушысы болып табылатын үш жылдамдықтық координат арқылы. Мұндай кеңістікті екіөлшемді фазалық жызықтықтың жалпылануы ретінде қарастыруға болады, бөлшектің бұл жазықтықтағы координаттары бөлшекті сипаттайтын кейбір шаманың мəндері мен оның бірінші туындысы (мысалы, бірөлшемді қозғалыс үшін олар – бөлшектің х координатасы мен жылдамдығы) болып табылады. Гармониялық осциллятор үшін мұндай жазықтықта оның тербелістерінің (қозғалысының периодты тізбегінің) кезеңін (фазасын) көруге болады, фазалық кеңістіктің мұндай аталуы бұған байланысты болса керек.