18 Функцияның экстремумы. Экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары.Функция экстремумы

х₀ нүктесінің - маңайы табылып, (х₀- х₀+ ), осы маңайдағы барлық х х₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х₀) теңсіздік орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі деп аталады.

Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелері деп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдары дейді.

2-суретте y=f(x) функциясының максимум нүктелері x₁және x₃, ал минимум нүктелері x₂ және x₄ . Суреттен x₄ нүктедегі минимум x₁ нүктедегі максимумнан үлкен. Бұл функцияның экстремум ұғымы нүктенің қандай да бір - маңайында ғана анықталатындығымен түсіндіріледі. Сондықтан да, функция экстремуы дегеннің орнына көбіне функцияның локальді экстремумы дейді.

Анықтама.х₀ нүктесінің - маңайы табылып, (х₀- х₀+ ), осы маңайдағы барлық х х₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалсаЭкстремумның қажетті және жеткілікті шарты

Экстремумның бар болуының қажетті шартын Ферма теоремасы береді.

Ферма теоремасы. х₀ нүктесі y=f(x) функциясының экстремум нүктесі болып және осы нүктедегі функция туындысы бар болса, онда =0. Бұл теореманың геометриялық мағнасы: теорема шартын қанағаттандыратын нүктеде функция графигіне жүргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х₀ нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,

1. Егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның максимум нүктесі болады;

2. Егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның минимум нүктесі болады;

3. Егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертпесе, онда х0 нүкте функцияның экстремум нүктесі емес.

Жоғары кестеде қарастырылған функцияларды осы жеткілікті шарт бойынша зерттесек. х аргумент нүкте арқылы өткен кездегі таңбасын анықтасақ, мынадай толықтыру аламыз:

Туынды таңбасы
:“+” “-” х0=0	: “+” “+” х0=0	: “-” “+” х0=0	: “+” “+” х0=0
х0=0 - максимум нүктесі	Экстремум жоқ	х0=0 - минимум нүктесі	Экстремум жоқ

Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Сонымен қатар болса, онда

1. Егер болса, онда х0 нүкте f(X) функциясының максимум нүктесі болады;

2. Егер болса, онда х0 нүкте f(X) функциясының минимум нүктесі болады.

19. Функция графигінің дөңес және ойыстығы, иілу нүктелері. Асимптоталар.Қисықтың дөңестігі, ойыстығы, иілуі

Анықтама. y=f(x) функция графигі (а,в) интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функция дөңес (дөңестігі жоғары қараған) деп, ал жанамадан жоғары жатса, онда функция ойыс (дөңестігі төмен қараған) деп аталады. 3-суретте y=f(x) функциясының графигі аралығында дөңес болады да, ал аралығында ойыс болады.Анықтама. Функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүктені функцияның иілу нүктесі деп атайды. Суретте қисық бойында жатқан (x₀, f(x₀)) нүкте графиктің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұр, яғни ол функцияның иілу нүктесі болады.

Енді иілу нүктесін табуға мүмкіндік беретін қажетті және жеткілікті шарттарды қарастырайық. Иілу нүктесі бар болуының қажетті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының (x₀, f(x₀)) нүктесі иілу нүктесі болса, онда .Шынында да, (x₀, f(x₀))иілу нүктесі болғандықтан х₀нүктесінің оң және солжағында таңбасы түрліше болады. Екінші туындының үзіліссіздігіне байланысты болатындығы шығады.

Анықтама. Екінші туындысы нолге айналатын не болмайтын нүктелер функцияның ІІ-текті күдікті нүктелері деп аталады.Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x₀, f(x₀)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады. Мысал. (Гаусс қисығы) функциясының иілу нүктелері мен дөңестік аралықтарын тап. Шешуі. 1) Функция бүкіл сан осінде анықталған, яғни D(y)= .

2. Бірінші және екінші туындыларын табамыз: ;

.

ІІ-текті күдікті нүктелерін шартынан табамыз: . болғандықтан, . Осыдан және күдікті нүктелер табылады. Осы нүктелер анықталу облысын үш интервалға бөледі: , , .

Осы интервалдардағы екінші туынды таңбасын анықтаймыз (4-сурет):

у + - + х ойыс дөңес ойыс 0 4-сурет 5-сурет

Сонымен функция графигі және аралықтарда ойыс, ал аралықта дөңес болады екен. Екінші ретті туынды нүктелерден өткенде таңбасын өзгертетіндіктен, бұл нүктелер функцияның иілу нүктелері болады. Функция графигі 5-суретте кескінделген.

Асимптота

Анықтама. Егер y=f(x) функциясы үшін және шектерінің ең болмағанда біреуі шексіздікке тең болса, онда функция графигінің тік асимптотасы деп аталады (6а-сурет). у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы деп аталады, егер функцияға тиісті қандай да бір М нүкте координат басынан алыстаған сайын түзуге шексіз жақындаса (6б-сурет).

Көлбеу асимптотаның дербес жағдайы (k=0) горизонталь асимптота болады: y=b

Көлбеу асимптотаны мынадай теорема көмегімен табуға болады.

Теорема. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы болуы үшін мынадай шектердің бар болуы қажетті және жеткілікті: , .

23. Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері.

Анықталмаған интеграл. f(x) және F(x) функциялары ақырлы немесе ақырсыз Х аралықта анықталған функциялар болсын. Анықтама. Х аралығында дифференциалданатын функциясы = f(x)теңдігін қанағаттандырса F(x) функциясы f(х) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.

М ысалы, F(x)=x³ функциясы f(x)=3x² функциясының алғашқы функциясы болады себебі туындының геометриялық мағнасы y=F(x) функциясына х нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті. Сонда, функцияның алғашқы функциясын табу дегеніміз х нүктеде жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі функциясының мәніне тең болатын y=F(x) қисығын табу деген сөз, яғни . функцияның алғашқы функциясы бірмәнді анықталмаған. Шынында да, мысалдағы f(x)=3x² функцияларының алғашқы функциялары ретінде мына функцияларды алуымызға болады: x³+1, x³-5, x³+C, мұндағы С-қандай да бір нақты сан (себебі, бұл функциялардың туындысы 3x² болады). Жалпы жағдайда айтсақ, функцияның алғашқы функциясы y=F(x) табылса, онда F(x)+С функциясы да функцияның алғашқы функциясы болады, себебі . Геометриялық тұрғыдан қарастырсақ, шартын қанағаттандыратын бір y=F(x) функция табылса, онда функция графигін Оу осі бойымен С шамаға жылжыту арқылы осы шартты қанағаттандыратын қисықтарды аламыз (бұлай жылжыту бұрыштық коэффициентті өзгертпейді). Анықталмаған интеграл қасиеттері

Интеграл анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады.

1. .2. .3. =F(x)+C.

4. Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда f(x)+g(x) функциясының да алғашқы функциясы бар болады және .

5. . 6. Егер = F(x)+C болса, онда = F(ax+b)+C.

7. Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының натурал логарифміне тең, яғни , мұндағы u=u(x).

22. Айнымалы алмастыру әдісі. Бөліктеп интегралдау әдісі. Мысалдар. Айнымалыны алмастыру әдісі. I= интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және .

Бұләдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.

а) +С

б) arctgt+C= = arctgx³+C

в) ln|t|+C=ln|1+lnx|+C

Бірден интегралдау. Белгілі формулалар көмегімен интегралды бір немесе бірнеше кестелік интегралға келтіруге болатын кезде қолданамыз. Мысалдар қарастырайық.

а) = = + +x+C= + +x+C

б) .

в)

(6-қасиет бойынша есептелді).

г) = +С.

Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген:

d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар. Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ,

, осыдан .

Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын интеграл интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысалдар қарастырайық.

а) +С = +C.

б) .

О= (сщыч+ыштч)-О О= (сщыч+ыштч)+Сю

Төмендегі интегралдар тобы тек бөліктеп интегралдау әдісімен есептелінеді:

; ; ; .

17. Квадраттық үшмүшелік түріндегі өрнектерді интегралдау. Мына төмендегі интегралдарды табу әдісін қарастырайық және .

) квадрат үшмүшелігіндегі коэффициентін жақша алдына шығарып, одан толық квадратты бөліп аламыз;

) интегралға , алмастыруын енгіземіз;

) Оны екі интегралдың қосындысы етіп жазамыз. Сонда екі интегралымыз да кестелік интегралға келеді.

1- мысал.