Жүйе шешудің кері матрицалық әдісі

Бұл әдіс те жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Жүйенің матрицалық жазылуын қарастырайық:

АХ=В,

мұндағы , , .

Айталық А ерекше емес матрица болсын, яғни матрица анықтауышы нолге тең емес, олай болса әр уақытта кері матрицасы бар болады. Теңдеуді сол жағынан кері матрицаға көбейтейік,

АХ= В

А=E болатындықтан,

ЕХ= В,

кез келген матрицаның бірлік матрицаға көбейтіндісі сол матрицаның өзіне тең болатындықтан, ЕХ=Х:

Х= В.

Сонымен, кері матрицалық әдіс бойынша жүйенің шешімін табу үшін бос мүшелерден құралған матрицаны жүйе матрицасының кері матрицасына көбейту керек екен.

Жоғарыда карастырылған

жүйені осы әдіс бойынша шешіп көрейік.

Шешуі. болғандықтан, жүйе матрицасы ерекше емес. Осы матрицаның кері матрицасын табамыз:

.

Енді Х= В теңдікті қолданып белгісіздерді табамыз:

.

Сонымен, , , шешімдері табылды.

Жүйе шешудің гаусс әдісі

n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе қарастырайық,

.

Гаусс әдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын әдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай:

1. Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу;

2. Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту;

3. Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа теңдеуге сәйкесінше қосу;

4. 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау.

Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,

.

Осы матрицаны түрлендірулер нәтижесінде мынадай түрге келтіреміз:

Матрицаның элементтері арқылы белгіленіп тұрғанымен, шын мәнінде олар түрлендірулер нәтижесінде өзгерген. Бұл белгілеулер жазуды ықшамдау үшін ғана пайдаланылып отыр.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін теңдеулер жүйесі мынадай:

(6)

Соңғы , ..., теңдеулеріндегі , ..., сандарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бәрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады.

Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді және r<n болсын.

Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды.

Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

Бірнеше мысал қарастырайық.

1-мысал.

Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық:

Сонымен жүйенің шешімі табылды:

2-мысал.

Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық:

Осы жүйеден және айнымалыларды табамыз:

және деп алсақ жүйе шешімі мынадай болады:

, , .

, айнымалылардың орнына еркімізше сан беріп жүйенің сәйкес шешімін табамыз. Сонымен, берілген жүйенің шексіз көп шешімі бар екен.

3-мысал. 2-мысалдағы жүйенің барлық базистік шешімдерін табу керек.

Шешуі. Матрица рангісі 2-ге тең екенін кеңейтілген матрицаға жүргізілген түрлендірулерден кейін көру қиын емес, сондықтан жүйедегі екі теңдеуді (мысалы, бастапқы екеуін) қарастырамыз:

Олай болса базистік шешімдері дан артпайды. Базистік айнымалылар ретінде мына айнымалылар жұбын алуға болады:

, ; , ; , ; , ; ; , .

Енді әрқайсысының базистік айнымалылар бола алатынын немесе бола алмайтынын білу үшін коэффициенттерінен құрылған анықтауыштарды есептейміз. Айталық , айнымалылар коэффициенттеріне құрылған анықтауыш

,

олай болса бұлар базистік айнымалылар бола алады. Базистік шешімді табу үшін жүйедегі , айнымалыларды нолге теңестіреміз де жүйені мына түрде жазамыз:

Бұл жүйенің шешімі: .

Сонда бастапқы жүйенің бір базистік шешімі: болады.

Осы жолмен барлық , , , , базистік шешімдерді табамыз.

4-мысал. Біртекті теңдеулер жүйесін шешейік,

.

Шешуі. Біртекті жүйе әруақытта үйлесімді, себебі жүйенің нолдік шешуі бар. Ендік нолдік емес шешулері бар жоқтығын анықтайық.

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

Соңғы матрицаға сәйкес келетін жүйе жазайық:

Осы жүйеден және айнымалыларды табамыз:

деп алсақ жүйе шешімі мынадай болады:

, .