
- •1. Матрицалар және оларға амалдар қолдану. Мысал.Матрица және олардың түрлері
- •2.Екінші ретті анықтауыштар және олардың қасиеттері.
- •5. Екі және үш белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі. Крамер ережесі.
- •Сызықты теңдеулер жүйесі Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. N белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады:
- •Жүйе шешудің крамер әдісі
- •Жүйе шешудің кері матрицалық әдісі
- •Жүйе шешудің гаусс әдісі
- •Осы матрицаны түрлендірулер нәтижесінде мынадай түрге келтіреміз:
- •7. Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері (екі нүктенің арақашықтығы; берілген кесіндіні белгілі қатынаста бөлу). Екі нуктенін ара қашықтығы
- •8. Векторлар және оларға қолданылатын сызықтық амалдар. Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі. Вектор және оған амалдар қолдану
- •2Вектордың скаляр көбейтіндісі
- •13.Туынды ұғымы, геометриялық және физикалық мағынасы. Функция туындысы
- •14. Кері және күрделі функциясының туындысы. Мысалдар. Күрделі функция туындысы
- •18 Функцияның экстремумы. Экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары.Функция экстремумы
- •Егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның максимум нүктесі болады;
- •Егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның минимум нүктесі болады;
- •Егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертпесе, онда х0 нүкте функцияның экстремум нүктесі емес.
- •Егер болса, онда х0 нүкте f(X) функциясының максимум нүктесі болады;
- •Егер болса, онда х0 нүкте f(X) функциясының минимум нүктесі болады.
- •19. Функция графигінің дөңес және ойыстығы, иілу нүктелері. Асимптоталар.Қисықтың дөңестігі, ойыстығы, иілуі
- •21. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Ньютон-Лейбниц формуласы.Анықталған интеграл
- •20. Екі айнымалы функциялар, негізгі ұғымдар. Дербес туындылар және толық дифференциал. Дербес туындының толық диференциялы
- •17 Б . Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің негізгі түрлері және оларды шығару тәсілдері. Мысал. 1-ші ретті сызықты біртекті диф.
- •Дифференциалды есептеу формулаларын келтірейік:
1. Матрицалар және оларға амалдар қолдану. Мысал.Матрица және олардың түрлері
Анықтама. m жатық n тік жолдан құрылған кестені mxn өлшемді матрица деп атайды.
Матрицаны құрайтын сандар матрица элементтері деп аталады. Әдетте матрица латын алфавитінің бас әріптерімен, ал элементтері сәйкес кіші әріптермен белгіленеді:
Қысқаша
жазылуы:
Матрица
элементінің бірінші индексі жатық жол
нөмірі, ал екінші индексі тік жол (бағана)
нөмірін көрсетеді. Мысалы,
элементі екінші жатық жол мен үшінші
тік жол қиылысында орналасқан.
Бір
ғана жатық жолдан құралған матрицаны
жол-матрица,
ал бір
ғана тік жолдан құралған матрицаны
бағана-матрица
депатайды:
- жол-матрица;
-
бағана матрица.
Жол матрица мен бағана матрицаны кейде вектор деп те айтады.. Жатық жолдар саны мен тік жолдар саны тең болатын матрица квадрат матрица деп аталады,
.
Квадрат
матрицаның
элементтері диагоналдық
элементтер деп
аталады да, матрицаның негізгі
диагоналін құрайды.
Ал
элементтері қосымша
диагоналдық элементтер деп
аталады да, матрицаның қосымша
диагоналін құрайды.
Квадрат матрицаның негізгі диагоналінің
астындағы немесе үстіндегі элементтері
нолге тең болса, матрица үшбұрышты
матрица
деп аталады,
,
Диагоналды емес элементтерінің бәрі нолге тең болатын квадрат матрица диагоналды матрица деп аталады,
.
Барлық диагоналды элементтері бірге тең болатын диагоналды матрица бірлік матрица деп аталады және оны Е әрпімен белгілейді,
.
Барлық
элементтері нолге тең матрица нолдік
матрицадеп
аталады.
Матрица және оларға амалдар қолдану
1. Матрицаны санға көбейту. Матрицаны санға көбейту үшін оның барлық элементтерін сол санға көбейту керек:
Мысалы,
матрицасын
санына көбейтейік: .
Осыдан матрицаның барлық элементтерінің ортақ көбейткішін матрица алдына шығаруға болатынын аңғару қиын емес.
2. Матрицаларды қосу және алу. Өлшемдері бірдей матрицаларды ғана қосуға болады. А және В матрицаларының қосындысы деп элементтері осы матрицалардың сәйкес элементтерінің қосындысы болатын, А + В матрицаны айтамыз:
.
А матрицасынан В матрицасын алу үшін А матрицасына В матрицасын -1-ге көбейтіп қосу жеткілікті:A – B = A+(-1)B немесе А матрицасының әр элементінен В матрицасының сәйкес элементтері алынады. Мысалы А матрицасынан В матрицасын алайық:
3. Матрицаларды көбейту. Бірінші матрицаның тік жолдар саны мен екінші матрицаның жатық жолдар саны тең болған жағдайда ғана екі матрицаны көбейтуге болады. Өлшемі mxk болатын А матрицасы мен өлшемі kxn болатын В матриасы берілсін:
Осы екі матрицаны көбейткенде өлшемі mxn болатын көбейтінді С матрица аламыз:
С
матрицасының
элементі А
матрицаның
–жатық
жол элементтерін В
матрицаның
–тік
жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп
қосқанға тең болады:
,
.
(1) Мысалы,
матрицасы мен
матрицасын көбейтейік. Бірінші матрица
үш тік жолдан, ал екінші матрица үш жатық
жолдан тұрғандықтан бұл матрицаларды
көбейтуге болады. Көбейтінді матрицаның
өлшемін анықтайық:
,
яғни,
.
k=3
болғандықтан (1) формуланы қолданғанда
үш қосылғыш болады:
,
.
элементін табу үшін формуладағы i=1,
j=1 деп аламыз,
сонда
,яғни
А
матрицаның 1-жатық жол элементтерін В
матрицаның 1-тік жолының сәйкес
элементтеріне көбейтіп қостық. Осылай
С матрицаның барлық элементтері табылады:
C=
=
=
=
.
Қосу және көбейту амалдарының мынадай қасиеттері бар:
1) A+B=B+A |
5) (A+B)C=AC+BC |
2) (A+B)+C=A+(B+C) |
6)
|
3) (A+B)= A+ B |
7) A(BC)=(AB)C |
4) A(B+C)=AB+AC |
|
|
|
Бұл қасиеттер сандарға жасалатын амалдар қасиеттеріне ұқсас. Енді матрицаның өзіндік ерекшелігіне байланысты қасиеттерін қарастырайық.
8)
Біріншіден, екі матрицаның АВ
көбейтіндісі болғанмен ВА
көбейтіндісі болмауы мүмкін. Мысалы,
көбейтіндісі
бар, бірақ
көбейтіндісі
жоқ, себебі бірінші матрицаның тік
жолдар саны екінші матрицаның жатық
жолдар санына тең емес;
екіншіден,
АВ
және ВА
көбейтінділері бар болғанмен, олардың
өлшемдері әртүрлі болуы мүмкін. Мысалы,
және
көбейтінділер
бар, бірақ өлшемдері әртүрлі:
,
;
үшіншіден, АВ
және ВА
көбетінділер бар және олардың өлшемдері
бірдей болғанмен, жалпы жағыдайда,
көбейтудің коммутативті заңы орындалмайды,
яғни АВ
BA.
Мысал.
мен
матрицалары берілген. АВ
және ВА
көбейтінділерін табау керек. Шешуі.
Берілген матрицалар өлшемдері 2х2
квадрат матрицалар, оларды көбейтуге
болады:
.
.
Көріп отырғанымыздай АВ BA.
9) А-квадрат матрица болса, онда мына теңдік орындалады: АЕ = ЕА = А.