Теоретический материал к заданию 2

На практике часто требуется найти экстремальные значения нескольких экономических показателей. В этом случае математическая модель имеет несколько целевых функций, причем некоторые из них требуют нахождения максимального, а другие – минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения такого компромиссного (субоптимального) решения модели, в котором значения всех рассматриваемых экономических показателей были бы приближены к экстремальным значениям.

Нахождение компромиссного решения относится к многокритериальным задачам оценки оптимизации. В задании 2 рассматриваются три критерия:

1. Максимизация прибыли от перевозки (как было в задании 1) - L₁;

2. Минимизация износа оборудования и помещений - L₂;

3. Максимизация роста репутации фирмы - L₃.

Существует несколько методов решения многокритериальных задач. К ним относятся: метод взвешивания критериев и один из наиболее эффективных является метод последовательных уступок, использование которого рассматривается в данном задании.

Решение задания 2

Составим математическую модель трехкритериальной задачи, используя данные таблицы.

L₁ = 8 x₁ + 2 x₂ + 9 x₃ → max

L₂ = 700 x₁ + 150 x₂ + 800 x₃ → min целевые функции

L₃ = 5 x₁ + 4 x₂ + 3 x₃ → max

ограничения

6 + 3 + 7 ≤ 2940

4 + 2 + 3 ≤ 1460

10 + 5 + 5 ≤ 3300

, , ≥ 0

Метод последовательных уступок.

Открываем электронную книгу Excel и, как и для решения однокритериальной задачи определяем ячейки под переменные

X₁, X₂ , X₃. Для этого в ячейку А1 вводим подпись «Переменные», а соседние три ячейки В1, С1 и D1 вводим значения переменных. Это могут быть произвольные числа, например единицы, далее они будут оптимизироваться. Во второй строке задаем целевые функции. В А2

вводим подпись «Целевые», а в В2 формулой «=8*B1+2*C1 +9*D1» задаем

первую целевую функцию 8 x₁ + 2 x₂ + 9 x₃ . Аналогично в С2 и D2 вводим

вторую и третью целевую функцию, вводя в С2 «=700*B1+150*C1 + 800*D1», а в D2 «=5*B1+4*C1+3*D1». В третью строку вводим левые части

ограничений. Для этого вводим в А3 подпись «Ограничения», в В3 формулу «=6*B1+3*C1+7*D1», в С3 формулу «=4*B1 +2*C1+3*D1» и в D3 формулу «=10*B1+5*C1 + 5* D1».

Предварительные действия завершены. Вызываем надстройку «Поиск решения» в меню «Сервис».

На первом этапе оптимизируем первую целевую функцию. После открытия окна «Поиск решения» в поле «Установить целевую» ставим курсор и делаем ссылку на ячейку В2, щелкая по ней мышью. В окне появится $B$2. В связи с тем, что целевая функция максимизируется, далее нужно проверить, что

флажок ниже поля стоит напротив надписи «Равной максимальному

значению. После ставим курсор в поле «Изменяя ячейки» и обводим ячейки с

переменными В1, С1 и D1, выделяя ячейки с переменными. В поле появиться $B$1:$D$1. В нижней части окна находится поле «Ограничения» Для того, чтобы ввести ограничения, наживают кнопку «Добавить», откроется окно

«Добавление ограничения». В левом поле «Ссылка на ячейку» вводят ссылку на левую часть первого ограничения – ячейку В3, в центральном окне определяем знак ≤ и в правом «Ограничения» набираем правую часть

ограничения – число 2940. Нажимаем «ОК», видим, что ограничение появилось в окне. Нажимаем вновь «Добавить», вводим «С3» «≤» и «1460». Вновь нажимаем «Добавить», вводим «D3» «≤» и «3300».

Для ввода дополнительных ограничений для переменных X₁, X₂ , X₃. вновь нажимаем «Добавить», ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В1, С1 и D1 (результат $B$1:$D$1) в среднем окне ставим «≥» и в правом число 0.

Для запуска вычислений нажимаем кнопку «Выполнить». Появляется надпись, что решение найдено. Выбираем «Сохранить найденное решение» и «ОК» видим результат: в ячейках В1, С1 и D1 видны значения переменных, соответствующие оптимальному решению: 0; 331; 266. В ячейки В2 – значение целевой функции 3820.

На втором этапе оптимизируется вторая целевая функция. Однако,

первую, в соответствие с методом последовательных уступок, можно

ухудшить первый критерий на величину не более, чем 20% или 764. По этой

причине, на втором шаге, значения в ячейке В2 (где хранится первая

целевая функция, которая максимизируется) может быть значение, не

меньшее, чем 3820 – 764 = 3056. Вызываем надстройку «Сервис/Поиск

решения», видим, что все прежние данные остались введенными. Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в поле «Установить целевую» и щелкаем по ячейке С2, в которой находится ссылка на вторую целевую функцию. Так, как вторая целевая минимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Равной минимальному значению». Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по первому критерию. Переводим курсор в поле «Ограничения» и нажимаем кнопку «Добавить», правее поля. В появившемся окне «Добавление ограничения» в трех окнах (слева на право) вводим данные «В2», «≥», «3056».

Результат – переменные равны 0; 331; 266 . Вторая целевая функция равна 262450 (ячейка С2). Первая равна своему минимальному значению 3056 (ячейка В2).

На третьем этапе делаем уступку по второму критерию. Величина уступки равна не более 35% или 91858. Так, как вторая функция минимизируется, то ее значение не должно превышать 262450 + 91858 = 354308. Вызываем надстройку «Сервис/Поиск решения». Меняем ссылку на целевую функцию. Ставим курсор в поле «Установить целевую» и щелкаем по ячейке D2, в которой находится ссылка на третью целевую функцию. Так, как третья целевая максимизируется, то ставим флажок в поле напротив надписи «Равной максимальному значению». Вводим дополнительное ограничение, связанное с уступкой по второму критерию. Переводим курсор в поле «Ограничения» и нажимаем кнопку «Добавить». В появившемся окне «Добавление ограничения» вводим данные «С2», «≤», «354308».

Результат – переменные равны 0; 331; 266. Целевые функции равны, соответственно, 3056; 262450; 2122. Это окончательный ответ. Все дополнительные условия соблюдены (смотри рис.1).

	А	B	C	D	E	F
1	Переменные	0	331	266	Прибыль
2	Целевые функции	3056	262450	2122	267628
3	Ограничения	2855	1460	2985

Красный цвет – уступка по первому критерию не более 20%.

Синий цвет – уступка по второму критерию не более 35%

Как видим, изменилась экономическая ситуация. Фирма ввела годовые поставки пылесосов и немного уменьшила количество поставок холодильников. При этом значительно увеличилась прибыль.

Метод взвешивания критериев.

Для оценки критериев методом взвешивания с экранной форме рассчитать прибыль (доход) от трех целевых функций и ввести весовые критерии, т.к. второй критерий является минимизацией износа оборудования, то критерия веса берется со знаком (-) (смотри рисунок 1).

	A	B			C	D	E	F	G	H
1	Ресурсы	Годовая поставка			Ограни-чения на ресур-сы	Измене-ния ресур-сов
2		Т	П	Х
3	Площадь	6	3	7	2940	2940
4	Вагоны	4	2	3	1460	1460
5	Персонал	10	5	5	3300	2900				Масш
6	Прибыль с ед.из.	8	2	9			Итого доход	3820	Вес Д: 5	424,444
7	План	140	0	300
8	Общая прибыль	1120	0	2700	3820
9	Износ оборудо-вания	700	150	800			Итого износ	338000	Вес И:-3	422,5
10	Репута-ция	5	4	3			Итого репута-ция	1600	Вес Р: 2	320

Рис.1. Экранная форма метода взвешивания критериев

Таким образом, многокритериальная оптимизация, согласно условиям задания 2 по двум способам: 1) метода взвешивания критериев, 2) метода последовательных уступок дала следующий результат (смотри рисунок 2).

A	B	C	D	E	F	G
				Масш	Уступка	Опт
ИТОГО ДОХОД	3820	Вес Д	5	424,444	30%	3056
ИТОГО ИЗНОС	338000	Вес И	-2	425,5	20%	262450
ИТОГО РЕПУТАЦИЯ	1600	Вес Р	3	320

Для принятия управленческого решения данной экономической проблемы, необходимо учитывать результаты многокритериальной оптимизации. При сравнении значений мы наблюдаем расхождение полученных результатов от оптимальных.