Розв’язок

а) Припущення – нормальна ГС.

Використовуємо розподіл Стьюдента.

Інтервал довіри: 32 t_{15, 0.05}*(6,4/16)=(29,195; 34,80488) (t_{15, 0.05} = 1.753)

б) ширшим

в) Інтервал довіри має простягатися в кожен бік не більше, ніж на 2 тис. км. Отже,

Z _0.05*(6,4/n)  2 =>n  1.64*6.4/2 = 5.248; n  27.54. Вибірка має бути не меншою за 28.

г) Вужчим – нормальний розподіл має меншу дисперсію, ніж розподіл Стьюдента.

5. Відповіді так/ні. Відповідаючи “ні”, надавайте коротке пояснення або графік.

а) помилка І роду виникає, коли відхилено правдиву нульову гіпотезу так

б) якщо нульову гіпотезу відхилено при рівні значимості 5%, то на основі тих самих даних її обов’язково буде відхилено і при рівні значимості 1%. Ні, розрахункове значення може знаходитись між критичними значеннями для 5% і 1% рівнів значимості

в) сила (потужність) тесту – це імовірність прийняття правдивої нульової гіпотези. Ні – це імовірність відхилити хибну Н₀.

г) b₁ - оцінка коефіцієнта нахилу регресії – є випадковою величиною. Так, вона є функцією випадкових величин

д) якщо ми збільшимо розмір вибірки, то імовірність помилки І роду збільшиться, а помилки ІІ роду – зменшиться. Ні – обидві зменшаться

е) якщо статистика Дарбіна-Вотсона прямує до нуля, це вказує на позитивну автокореляцію помилок так

Розв’язок

а) так

б) Ні, розрахункове значення може знаходитись між критичними значеннями для 5% і 1% рівнів значимості

в) Ні – це імовірність відхилити хибну Н₀.

г) Так, вона є функцією випадкових величин

д) Ні – обидві зменшаться

е) так

6. Для кожного з 10 випадково вибраних студентів заміряно час (х) у годинах, що він/вона витратив/ла на підготовку до іспиту. Отримано такі дані:

_i=1¹⁰Х = 450; _i=1¹⁰ (Х – Х)² = 1002.

а) припускаючи, що ГС розподілена нормально, протестуйте з 5% рівнем значимості нульову гіпотезу про те, що середній час навчання усіх студентів даного курсу менший за 40 годин, проти альтернативної гіпотези про те, що він більший за 40 годин.

б) знайдіть p-value для цього тесту.

в) чи буде p-value для тесту двосторонньої гіпотези Н₀:  = 40 проти альтернативної На   40, більшим, меншим чи рівним знайденому у (б)?

г) чи зміниться результат тесту (а), якщо ми візьмемо рівень значимості 1%? 10%?

Розв’язок

а) Х = 450/10 = 45; var(X) = 1002/9 =111.33.

Розрахункова статистика t_розр= (45 – 40)/(111.33/10) = 1,4985, t_кр = t_9;0,05 = 1,833 > t_розр

Не можемо відхилити Н₀.

б) p-value = t₉(1,4985) = 0,0841

в) Удвічі більшим

г) 1%: t_кр = t_9;0,01 = 2,82 => знову не можемо відхилити Н₀,

10%: t_кр = t_9;0,1 = 1,383 => можемо відхилити Н₀

7. Кількість часу, витраченого студентами на підготовку до тесту, має нормальний розподіл з невідомими параметрами μ та σ². Випадково вибрано 10 студентів та виміряно час, що вони витратили на підготовку до тесту. Отримано наступну вибірку:

0, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 9, 10

а) знайдіть імовірність того, що середній час навчання у вибірці відрізнятиметься від μ не більше, ніж на 2.

б) знайдіть імовірність того, що середній час навчання у вибірці відрізнятиметься від μ не більше, ніж на 2, якщо вам повідомили, що σ = 2.

в) що відбудеться з різницею між імовірностями, знайденими у (а) і (б), якщо розмір вибірки зросте? Чому?

г) вам повідомили, що насправді час, витрачений студентами на підготовку до тесту, розподілений не нормально. Чи зможете ви відповісти на питання (а) та (б)? За яких умов ви змогли б відповісти на ці питання?

д) знайдіть дисперсію вибірки S². Вважаючи, що σ = 2, знайдіть імовірність того, що

3< S²<12.

Розв’язок. З умови відомо, що генеральна сукупність (тобто час, витрачений усіма студентами даного вузу на підготовку) розподілена нормально, проте невідомі параметри цього розподілу – μ та σ². Ви намагаєтесь оцінити ці параметри за допомогою вибіркових даних: оцінка μ – вибіркове середнє Х (Х = Σх_і/n), оцінка σ² – вибіркова дисперсія (S² = (1/(n-1)) Σ(x_i – X)²). При розрахунку вибіркової дисперсії ми ділимо на n-1, а не на n, тому що ми використовуємо Х замість невідомого нам μ, і таким чином втрачаємо один ступінь вільності.

Отже, Х = (0+2+2+3+4+5+5+6+9+10)/10 = 4,6

S² = 1/9((0-4,6)² + (2-4,6)² + (2-4,6)² + (3-4,6)² + (4-4,6)² + (5 - 4,6)² + (6 - 4,6)² + (9 - 4,6)² + (10 - 4,6)² ) = 9,8

З теорії нам відомо, що (див. Пам’ятку 1)

Якщо випадкова величина X має нормальний розподіл X ~N(μ, σ²), то для вибірки розміру n з цього розподілу виконується наступне:

1. x ~ N(μ, σ²/n), (x - μ)√n/σ² ~N(0,1); (x - μ)√n/s² ~t_n-1; x – середнє вибірки; s²- дисперсія вибірки, s² = 1/(n-1)Σ(x_i-x)²;

2. x та s² – незалежні випадкові величини;

3. (n-1)s²/ σ² ~ χ²_n-1

a) вам потрібно знайти імовірність того, що |Х – μ| <2.

P(|Х – μ| < 2) = P(-2 < Х – μ < 2) = P(-2/(S/√n) < (Х – μ)/(S/√n) < 2/(S/√n)) =

= Р(-2,02 < (Х– μ)/(S/√n) < 2,02)

Для знаходження цієї імовірності використовуємо розподіл Стьюдента з 9 ступенями вільності, оскільки замість невідомої нам дисперсії генеральної сукупності ми підставили її оцінку - S², яка є більшою за σ². Розподіл, схожий на нормальний проте з більшою дисперсією – якраз і є розподілом Стьюдента.

За таблицею знаходимо значення імовірності, воно приблизно дорівнює 0,93.

б) вам потрібно знайти ту саму імовірність, проте знаючи дисперсію генеральної сукупності.

P(|Х – μ| <2) = P(-2 < Х – μ < 2) = P(-2/(σ/√n) < (Х – μ)/ (σ/√n) < 2/(σ/√n)) =

= Р(-3,16 < (Х – μ/ (σ/√n) < 3,16)

Тепер для знаходження імовірності ми можемо використати стандартний нормальний розподіл (див. розподіл Х у рамочці). За таблицею нормального розподілу, знаходимо, що відповідна імовірність дорівнює приблизно 0,99.

в) зі зростанням вибірки S² наближатиметься до σ², а розподіл Стьюдента - до нормального розподілу (оскільки зростатимуть його ступені вільності). Тому імовірність, знайдена у (а) наближуватиметься до імовірності, знайденої у (б).

г) ми не можемо відповісти на питання (а) та (б), оскільки не можемо використовувати розподіли нормальний та Стьюдента для знаходження імовірностей. Проте, якщо розмір вибірки зростатиме, уже при вибірці більше 30 спостережень, ми зможемо зробити усі операції з пунктів (а) та (б), оскільки розподіл Х наближатиметься до нормального (див. Центральну граничну теорему).

8. X₁, X₂, X₃, X₄ X₅ – вибірка розміру n=5 з розподілу N(0, σ²). Знайдіть константу c таку, щоб величина

c(X₁ – X₂)

Т = ------------------ мала t-розподіл. Скільки ступенів вільності матиме цей t-розподіл?

Ö X₃²+ X₄² + X₅²

Розв’язок (щодо формул – дивіться у Пам’ятку 2).

Ми знаємо, що Z/√(V/n), де Z ~ N(0;1), V~ χ²_n. Отже, нам потрібно перетворити даний вираз так, щоб отримати в чисельнику стандартну нормальну величину, а під коренем у знаменнику – величину з розподілом χ², поділену на свої ступені вільності.

Для нормально розподілених величин виконується наступне: якщо X~N(μ₁, σ₁²) i Y~N(μ₂, σ₂²), то Z = X±Y ~ N(μ₁ ± μ₂, σ₁²+ σ₂²).

Тому X₁ – X₂ ~ N(0;2σ²). Щоб привести цю випадкову величину до стандартної нормальної, від неї потрібно відняти матсподівання (0) та поділити на її середньоквадратичне відхилення (√2).

Крім того, ми знаємо, що сума квадратів стандартних нормальних величин розподілена за χ². Щоб привести наші випадкові величини X₃, X₄, X₅ до стандартних нормальних, їх потрібно поділити на σ. Тоді (X₃²+ X₄² + X₅²)/ σ² має розподіл χ²₃ (тобто з трьома ступенями вільності).

Отже, випадкова величина

(X₁ – X₂)/√2σ

----------------------------- матиме t-розподіл.

Ö (X₃²+ X₄² + X₅²)/ σ²/3

Скорочуючи σ та переносячи √3 у чисельник, маємо

√3 (X₁ – X₂)

- -----------------------. Порівнюючи цей вираз з умовою, бачимо, що с = √3/2

√ 2Ö(X₃²+ X₄² + X₅²)

9. Фірма випускає електричні лампи, термін дії яких має нормальний розподіл з середнім 1200 годин та середнім квадратичним відхиленням 250 годин. Випадково вибрано одну лампу. Яка імовірність, що термін її дії становитиме від 900 до 1300 годин?

Розв’язок. Використовуємо стандартний нормальний розподіл.

P(900 < X < 1300) = P( (900-1200)/250 < (X – 1200)/250 < (300-1200)/250) = P(-1.2< Z < 0.4) =

= Φ(0.4) – Φ(-1.2) = Φ(0.4) + Φ (1.2) – 1 = 0.6554 + 0.8849 – 1 = 0.5403