2.11.3. Обчислення миттєвих значень струмів і напруг

Так як початкова фаза прикладеної напруги , то її миттєве значення:

.

Миттєве значення вхідного струму:

; так як , то .

Тоді .

Миттєве значення міжвузлової напруги:

;

;

;

.

Миттєве значення напруги на першій вітці:

;

; ;

.

При розрахунках миттєвих значень струмів у паралельних вітках використаємо кути зсуву фаз , й між струмами , , цих віток і міжвузловою напругою :

; ;

;

;

;

;

;

;

;

; ;

.

2.11.4. Складання рівнянь енергетичного балансу

Баланс активної потужності: активна потужність, яка надходить від джерела енергії рівна активній потужності, що розсіюється на всіх активних опорах кола, тобто або .

Підставивши числові значення, одержимо

або .

Відносна похибка балансу активної потужності:

.

Рівняння балансу реактивної потужності:

;

або .

Відносна похибка балансу реактивної потужності:

.

2.12. Комплексний метод розрахунку синусоїдних кіл

2.12.1. Форми запису комплексних чисел

Комплексний (символічний) метод застосовують при розрахунках усталених режимів у лінійних електричних колах змінного струму, коли ЕРС, напруги і струми є синусоїдними функціями часу. Він дає можливість замінити розв’язування інтегро-диференціальних рівнянь синусоїдних функцій часу розв’язуванням алгебраїчних рівнянь з комплексними значеннями цих функцій.

Так як кожна синусоїдна функція часу, наприклад напруга при заданій частоті визначається двома величинами – амплітудою і початковою фазою , так і кожне комплексне число містить у собі дві величини – модуль і аргумент у показниковій формі запису: або дійсну і уявну складові при алгебраїчній і тригонометричній формах запису, де – уявна одиниця, причому

; ;

.

При зворотному переході від алгебраїчної форми до показникової: модуль ; аргумент .

Дві комплексні величини, які мають рівні модулі і рівні, але протилежні за знаком аргументи, називають спряженими.

Якщо маємо комплексне число

,

то спряжене йому комплексне число

.

Добуток спряжених комплексних чисел рівний квадрату їх модуля:

.

Для дійсної і уявної частин комплексного числа вживають вирази

; .

2.12.2. Комплексні зображення синусоїдного струму, його похідної та інтегралу

Нехай ми маємо синусоїдний струм:

. (2.61)

Комплексне число:

будемо розглядати як символічне зображення синусоїдного струму. Це число також, як і величина миттєвого струму (2.61), визначається двома величинами – амплітудою і початковою фазою .

Комплексну величину називають комплексною амплітудою струму.

В икористовуючи знак відображення: « » , можна записати:

. (2.62)

Таким чином, при переході від дійсної синусоїдної функції (оригіналу) до її комплексного зображення необхідно взяти його модулем амплітуду синусоїдної функції, а аргументом – початкову фазу синусоїдної функції.

При зворотному переході від комплексного числа, що відображує синусоїдну функцію часу, до оригіналу необхідно взяти коефіцієнт при уявній частині комплексного числа: .

Похідна за часом від синусоїдного струму:

Комплексне відображення похідної буде мати вигляд:

О тже, , (2.63)

тобто операція взяття похідної від дійсної синусоїдної функції часу замінюється помноженням на її комплексного зображення.

Відповідно для похідної п – го порядку

. (2.64)

Вираз для електричного заряду рівний інтегралу від синусоїдного струму:

Тоді комплексне відображення інтегралу запишеться виразом:

О тже, , (2.65)

тобто операція інтегрування дійсної синусоїдної функції часу замінюється діленням на комплексного зображення цієї функції.

Таким чином, комплексний метод є методом алгебраїзації інтегро-диференціальних рівнянь лінійних електричних кіл.

Суть його полягає в тому, що всі дійсні функції часу замінюють їх комплексними відображеннями, а всі диференціальні й інтегральні рівняння, записані згідно з законами Кірхгофа, замінюють алгебраїчними рівняннями у комплексній формі. Ці рівняння містять у собі комплекси заданих і шуканих функцій та їх інтегралів і похідних.

Розв’язуючи ці рівняння, знаходять комплексні вирази шуканих функцій часу, від яких переходять до оригіналів цих функцій.

Розглянемо коло з послідовним сполученням активного опору, індуктивності і ємності (рис. 2.19), на вхід якого подається синусоїдна напруга

.

Згідно з другим законом Кірхгофа рівняння кола має вигляд

(2.66)

Запишемо комплексні відображення синусоїдних величин, що входять у рівняння (2.66)

; ; ;

і підставимо їх у це рівняння

.

Скоротивши на , одержимо

, (2.67)

де – комплексний опір кола.

З рівності (2.67) легко визначається комплексна амплітуда струму , з якої можна визначити вираз для миттєвого значення струму в колі

Комплексні діючі значення струму і напруги:

; . (2.68)

В подальшому комплексні діючі значення ЕРС, напруг і струмів будемо називати – комплексна ЕРС, комплексна напруга, комплексний струм, а множник будемо опускати.