2.8. Паралельне сполучення g, l, c в колі синусоїдного струму

Нехай на вхід електричного кола (рис. 2.8, а) подається синусоїдна напруга:

. (2.47)

Згідно з першим законом Кірхгофа диференціальне рівняння кола запишеться:

. (2.48)

Так як напруга на вході кола є спільною для всіх віток кола, то доцільно прийняти рівною нулю її початкову фазу ( ). Тоді або і синусоїда вхідного струму прийме вигляд:

. (2.49)

Підставивши вирази (2.47) і (2.49) у рівність (2.48), одержимо:

(2.48, а)

Рівність (2.48, а) справедлива для будь-якого моменту часу . Зокрема, поклавши і , одержимо:

; (2.50)

. (2.51)

Піднесемо рівності (2.50) і (2.51) до квадрата і додамо їх ліві і праві частини:

або

,

звідки одержимо зв’язок між амплітудами струму і напруги

. (2.52)

Розділивши на ліву і праву частини, будемо мати зв’язок між їх діючими значеннями

. (2.52,а)

Розділивши (2.51) на (2.50), одержимо

,

звідки

. (2.53)

У виразах (2.52) і (2.52, а) співмножник-радикал має розмірність провідності. Його позначають літерою і називають повною провідністю кола

. (2.54)

Провідність називають активною провідністю. Величину ( ), що має також розмірність провідності, називають реактивною провідністю і позначають літерою . При цьому член ( ) називають індуктивною провідністю і позначають , а член називають ємнісною провідністю і позначають .

Маємо

На (рис. 2.8, б) приведена векторна діаграма паралельного – кола для випадку . При в – колі має місце резонанс: вхідний струм рівний активному струму в першій вітці. При струм відстає від прикладеної напруги на кут , причому: . При струм випереджує напругу: .

2.9. Потужність у колі синусоїдного струму

Якщо на вхід лінійного електричного кола (рис. 2.9, а) прикладена синусоїдна напруга: , то в колі буде протікати синусоїдний струм: , який зсунутий відносно напруги на кут :

.

Якщо , то і напруга випереджає струм за фазою; якщо , то і напруга відстає від струму. Якщо , то і напруга збігається за фазою зі струмом. На рис. 2.9, б наведені часові залежності та для .

Миттєве значення потужності

або

(2.55)

Перша складова виразу (2.55) – це миттєве значення активної потужності , а друга складова – реактивної .

На рис. 2.9, в, г, д показані часові залежності миттєвих величин потужностей, відповідно: повної , активної та реактивної .

Амплітуда реактивної потужності є величиною, яку в колах синусоїдного струму називають реактивною потужністю, отже

. (2.56)

Визначимо середнє значення потужності за період, тобто активну потужність

(2.57)

Інтеграл другої складової виразу (2.57) дорівнює нулю.

Піднесемо до квадрата вирази (2.56) і (2.57)

;

і почленно додамо

.

Величину називають повною або позірною потужністю, а трикутник (рис. 2.9, е) – трикутником потужностей. Отже, формули для визначення активної, реактивної та повної потужностей мають вигляд:

; ; . (2.58)

Наведені потужності можуть бути також розраховані за діючими значеннями струму й відповідних опорів за формулами:

; ; .

Одиниці вимірювання потужностей: =1 ВА, 1 кВА; = 1 Вт, 1 кВт; =1 ВАр, 1 кВАр.

Повна і активна потужності завжди додатні. Якщо (резистивно – індуктивні кола), реактивна потужність – додатна, а якщо (резистивно – ємнісні кола), – від’ємна.

Повна потужність характеризує найбільше значення активної потужності, яку можна одержати в колі за заданих діючих значень напруги та струму (тобто, якщо ). На щитках генераторів, моторів і трансформаторів як номінальну потужність вказують їх повну потужність у вольт-амперах (ВА) або кіловольт-амперах (кВА).

Величину називають коефіцієнтом потужності. Він показує, яку частину всієї потужності, виробленої джерелом електроенергії, складає активна потужність.

Очевидно, що чим більший , тим економніше працює енергосистема, так як при одних і тих же значеннях струму й напруги джерела можна одержати більшу активну потужність. Або при певних значеннях напруги і потужності джерела можна передавати активну енергію меншим струмом, що зменшує втрати в лінії електропересилання.

Приклад 2.2. Визначимо повний опір, коефіцієнт потужності, діючі значення струму і напруг на елементах, активну, реактивну і повну потужності електричного кола (рис. 2.7, а) з послідовно сполучених резистивного опору , індуктивності і ємності , яке приєднане до електричної мережі синусоїдної напруги з діючим значенням і частотою .

Розв’язання

Реактивні опори та повний опір кола

Коефіцієнт потужності

Діюче значення струму

Діючі значення напруг на активному, індуктивному та ємнісному опорах:

Діюче значення загальної напруги

Потужності:

- активна

- реактивна

- повна