2.12.3. Відповідність між комплексними струмами і напругами та їх векторними зображеннями

Вектори синусоїдних функцій відкладають на комплексній площині, де горизонтальна вісь – вісь дійсних, а вертикальна вісь – вісь уявних чисел.

Довжини векторів приймають пропорційними діючим значеннями синусоїдних величин, а кути між дійсною віссю і векторами – рівними початковим фазам цих синусоїдних величин. Тоді кожній комплексній величині буде відповідати певний вектор, а спряженим комплексним величинам – вектори, що є дзеркальними відображеннями один до одного відносно дійсної осі.

Н

0

ехай задані синусоїдна напруга і синусоїдний струм, що зсунуті за фазою на кут . При переході від вектора струму до вектора напруги (рис. 2.20) необхідно повернути вектор струму на кут і змінити його довжину в разів, де й – мірила векторів струму й напруги відповідно, а – мірило опору.

П ри переході від комплексного струму до комплексної напруги необхідно аргумент струму збільшити на , так як , і модуль струму помножити на модуль опору , так як , тобто необхідно помно-жити комплексний струм на комплекс-ний опір .

Таким чином, помноження комплексної величини на відповідає повороту її вектора на кут , а помноження комплексної величини на відповідає повороту вектора на кут у верх від осі дійсних чисел.

Геометричне додавання векторів струму або напруги відповідає алгебраїчному додаванню відповідних їм комплексних величин, так як при геометричному додаванні векторів алгебраїчно сумуються їх проекції на відповідних осях, а при алгебраїчному додаванні комплексних чисел – алгебраїчно сумуються їх дійсні і уявні складові.

2.12.4. Комплексні опір і провідність

Відношення комплексної напруги до комплексного струму називають комплексним опором кола і позначають символом .

Згідно з законом Ома:

(2.69)

де – відповідно активний, реактивний і повний опори кола.

Відношення комплексного струму до комплексної напруги називають комплексною провідністю кола і позначають символом :

(2.70)

де – активна, реактивна і повна провідності кола.

Очевидно, має місце зв’язок:

або . (2.71)

Напрямки векторів, що відповідають комплексним величинам і , є дзеркальними відображеннями один відносно одного в осі дійсних чисел, так як аргументи комплексних величин і рівні за величиною і протилежні за знаком.

2.12.5. Закони Ома й Кірхгофа в комплексній формі

Вирази закону Ома в комплексній формі мають вигляд:

; ; ; . (2.72)

Перевага цих виразів в тому, що ними враховується як зв’язок між діючими значеннями струму й напруги , так і зсув фаз між ними.

Перший закон Кірхгофа, який стосовно до вузла для миттєвих значень мав вигляд: , в комплексній формі запишеться: . (2.73)

Другий закон Кірхгофа, який стосовно до контуру кола для миттєвих значень мав вигляд , в комплексній формі запишеться:

, (2.74)

де – комплексні ЕРС, спади напруг, струми й опори k – ої вітки.

Як і для миттєвих значень, перед складанням рівнянь згідно з законами Кірхгофа в комплексній формі необхідно вибрати умовно додатні напрямки ЕРС, напруг і струмів у всіх вітках кола і показати їх на схемі стрілками.

Якщо в позначеннях використовуються подвійні індекси, то мають місце співвідношення:

; ; .

Опори або провідності віток є параметрами, що не мають напрямків, і порядок індексів для них не грає ролі, тобто:

; .