31

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ” Кафедра “Системного аналізу та управління” Курсова робота Дисципліна “Дискретна математика" Тема “Теорія графів. Опис графів. Алгоритм Прима-Краскла” (Варіант №1-15) Керівник роботи: доц. каф. САіУ Сідоренко А.Ю. Виконавець: студент групи ІФ-52б Ушакова О.Г. Харків – 2013

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Кафедра “Системного аналізу та управління”

Оцінка

________________________

голова комісії

доц. каф.САиУ

____________ /Кащеєв Л.Б./

« » ___________ 200 _ р.

КУРСОВА РОБОТА

Дисципліна: „Дискретна математика”

Тема: „Теорія графів. Опис графів. Алгоритм Прима-Краскла”

(Варіант №1-15)

Виконавець: ст. гр. ИФ-52^б Ушакова О.Г.

“ ” 200 р.

Керівник роботи: доц. Сідоренко А.Ю.

“ ” 200 р.

Харків 2013

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Кафедра “Системного аналізу та управління”

Студентка Ушакова О.Г. Група ИФ-52^б

ЗАВДАННЯ на науково-дослідну курсову роботу

Дисципліна: “Дискретна математика”

Тема: „Теорія графів”(Варіант №4)

Короткий зміст роботи:

а) теоретична частина

Розробка методики дослідження графу наведеного на малюнку:

Провести математичний опис графу; пронумерувати вершини графу; проаналізувати граф на наявність Эйлерова циклу або Эйлерова шляху; двома алгоритмами перевірити граф на наявність циклів; знайти остовне дерево; знайти положення поліцейської дільниці; розмістити на графі магазин; вирішити задачу Дейкстри.

б) програмно-розрахункова частина

Розробка програмного забезпечення, яке реалізує розрахунок визначника матрицi 5*5 та 10*10 методом Гаусса та Холецького.

Дата видачі завдання: 15.11.2013 Термін захисту: 24.12.2013

Керівник курсової роботи: доц. САіУ Сідоренко А.Ю.

Содержание

Введение …….………..………………………………………………………..6

1 Расчетная часть работы ……………………………………………………..7

1.1 Задание на проектирование ………………………………………………7

1.2 Математическое описание графа ………………………………………...7

1.2.1 Описание графа G^ор множествами вершин V и дуг X ………...7

1.2.2 Описание графа G^ор списками смежности ……………………..7

1.2.3 Описание графа G^ор матрицей инцидентности ………………..8

1.2.4 Матрица весов соответствующего неориентированного графа .8

1.2.5 Описание графа G^ор матрицей смежности ……………………..9

1.2.6 Степени вершин неориентированного графа …………………...9

1.3 Нумерация вершин графа ………………………………………………....10

1.3.2 Нумерация вершин графа G «поиском в глубину» …………….10

1.3.2 Нумерация вершин графа G «поиском в ширину» …………….10

1.4 Эйлеров путь и Эйлеров цикл на графе ………………………………….13

1.4.1 Поиск на графе Эйлерова пути ………………………………….13

1.4.2 Построение на графе Эйлерова цикла ………………………….13

1.5 Проверка ориентированного графа на наличие циклов путем отбрасывания «истоков» и «стоков» ………………………………………….....15

1.6. Поиск остовного (остевого) дерева алгоритмом Прима-Краскала …..18

1.7. Определение дерева кратчайших путей по алгоритму Дейкстры …...20

1.8. Задача коммивояжера…………………………………………………....22

1.9. Поиск всех деревьев на графе…………………………………………...27

2. Постановка задачи на программирование ……………………………….16

2.1. Постановка задачи ………………………………………………………16

2.2. ………..

2.3. Интерфейс программы …………

Заключение …………………………………………………………………...21

Список использованных источников ……………………………………….22

Введение

Теория графов – это часть науки топологии.

Граф есть упорядоченная пара (V,E), где V – непустое множество, называемое множеством вершин; E – неупорядоченное бинарное отношение на V , т.е. V&V. E называют множеством ребер. Говорят, что ребро, принадлежащее множеству E, инцидентно вершинам, которые оно соединяет. Таким образом, мы определим неориентированный граф. Он полностью определяется списком вершин и указанием, какие пары вершин имеют соединяющие их ребра (в случае нагруженного графа каждому ребру или дуге еще приписывается вес). Во многом базовые определения теории графов обязаны своему появлению Л.Эйлеру (1707-1782), решившему в 1736 г. широко известную «задачу о кенигсбергских мостах».

Ориентированный граф - упорядоченная пара (V,E), где V – множество вершин, а E – упорядоченное отношение на V (т.е. V&V). В этом случае E называют множеством дуг. Первая и вторая вершины дуги называются соответственно начальной и конечной.

В большинстве практических задач (как и в данном задании) рассматриваются графы с конечным числом ребер и вершин; их называют конечными. Для аналитического решения большинства задач желательно отойти от графического представления графов в пользу их матричного описания.

Вопросам описания графов, решению элементарных задач на графах и их программной реализации и посвящена данная работа.

1 ГРАФ

1.1 Математическое описание графа

Исходный граф из задания представлен на рис1.1.

G^ор(V,X)

Рисунок 1.1 Исходный граф для расчетов

1.2.1 Описание графа G^ор множествами вершин V и дуг X:

Нумерация вершин см. рис. 1.1.

V={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

X={{0,1},{0,2},{0,3},{1,6},{2,1},{2,5},{2,8},{2,5},{3,9},{3,8},{4,6},{5,4},

{5,6},{5,7},{5,8},{5,3},{6,9},{7,8},{7,6},{8,9}}

1.2.2 Описание графа G^ор списками смежности:

Г0={1,2,3}; Г1={0,2,6,}; Г2={0,1,3,5,8}; Г3={0,2,5,8,9};

Г4={5,6}; Г5={2,3,4,6,7,8}; Г6={1,4,5,7,9}; Г7={5,6,8};

Г8={2,3,5,7,9}; Г9={3,6,8};

1.2.3 Описание графа G^ор матрицей инцидентности:

Данный граф может описан матрицей инцидентности вершина-ребро (нумерация вершин и ребер приведена для удобства, обычно она не пишется)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	1	0	0	1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1	1	1	0	0	0	0
6	0	0	0	3	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	1	0	0
7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0
8	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	1
9	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	1