Билет 9

Момент инерции

Момент инерции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

массой m относительно оси вращения называется величина, равная:

I = m·R2,

где R - кратчайшее расстояние от оси вращения до точки.

Момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции его частей:

I = mi·Ri2.

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерций его частей и рассчитывается путем интегрирования по всему телу:

.

Следовательно, момент инерции твердого тела зависит от:

-массы тела;

-формы и размеров тела;

-распределения массы относительно оси вращения.

Момент силы

Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, равная произведению силы на ее плечо.

Момент силы определяют по формуле:

М – F*I , где F — сила, I — плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

где – сила, приложенная к телу массой m; а – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А приложить силу F, то в результате жесткой связи между всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F1,…,Fn . Для каждой материальной точки можно записать:

Где

Билет 10

Момент импульса тела

Импульс тела — это физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость

Р=m*U

Закон сохранения момента импульса

Основное уравнение динамики вращательного движения совпадает с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения. Поэтому для описания вращательного движения можно провести аналогичные обобщения, приведшие нас к закону сохранения импульса

Уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

Iε = M, (1)

где ε = Δω/Δt − угловое ускорение тела, I − его момент инерции, М − сумма моментов внешних сил, действующих на тело, перепишем в виде

Δ(Iω)/Δt = M. (2)

Физическая величина

L = Iω

называется моментом импульса. Уравнение (2) оказывается применимым и для описания вращения тел, момент инерции которых изменяется в процессе движения, поэтому имеет более широкую область применимости, чем уравнение (1). Теперь основное уравнение динамики формулируется так: скорость изменения момента импульса тела равна суммарному моменту сил, действующему на тело. Доказать теоретически это утверждение невозможно − мы провели обобщение, которое подтверждается многочисленными экспериментами. Введенное нами определение момента импульса L = Iω является частным случаем для этой физической величины.  Дадим еще одно определение этой физической величины. Пусть материальная точка массы m движется со скоростью v. Импульсом тела называется векторная величина р = mv. Моментом импульса называется произведение импульса тела на плечо импульса (расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой направлен импульс):

L = mvd. (3)

Это определение аналогично определению момента силы. Можно дать эквивалентные выражения формулы (3):

L = mvd = mvrcosα = mv_τr,

где r − расстояние от оси вращения до рассматриваемой материальной точки, v_τ − составляющая скорости, перпендикулярная радиус-вектору рассматриваемого точечного тела

Аналогично моменту силы момент импульса может быть определен как векторная физическая величина, направленная перпендикулярно плоскости, содержащей вектор импульса mv и радиус-вектор r. При таком определении вектор момента импульса равен векторному произведению указанных векторов

 Основное уравнение динамики вращательного движения также записывается в векторной форме:

 Легко показать, что при вращении тела вокруг неподвижной оси из формулы (3) следует выражение для момента импульса L = Iω.  Действительно, при вращении вокруг неподвижной оси вектор скорости перпендикулярен прямой, соединяющей точку тела с осью вращения, величина скорости выражается через угловую скорость v = ωr 

Поэтому момент импульса выражается формулой

L = mvr = mr²ω = mr²ω = Iω,

где I = mr².