Билет 7 Закон Сохранения Механической Энергии

Если в замкнутой системе не действуют силы, трения и силы сопротивления, то сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел системы остается величиной постоянной.

Рассмотрим пример проявления этого закона. Пусть тело, поднятое над Землей, обладает потенциальной энергией Е₁ = mgh₁ и скоростью v₁ направленной вниз. В результате свободного падения тело переместилось в точку с высотой h₂ (E₂ = mgh₂), при этом скорость его возросла от v₁ до v₂. Следовательно, его кинетическая энергия возросла от

Запишем уравнение кинематики:

Умножим обе части равенства на mg, получим:

После преобразования получим:

Рассмотрим ограничения, которые были сформулированы в законе сохранения полной механической энергии.

Что же происходит с механической энергией, если в системе действует сила трения?

В реальных процессах, где действуют силы трения, наблюдается отклонение от закона сохранения механической энергии. Например, при падении тела на Землю сначала кинетическая энергия тела возрастает, поскольку увеличивается скорость. Возрастает и сила сопротивления, которая увеличивается с возрастанием скорости. Со временем она будет компенсировать силу тяжести, и в дальнейшем при уменьшении потенциальной энергии относительно Земли кинетическая энергия не возрастает.

Это явление выходит за рамки механики, поскольку работа сил сопротивления приводит к изменению температуры тела. Нагревание тел при действии трения легко обнаружить, потерев ладони друг о друга.

Таким образом, в механике закон сохранения энергии имеет довольно жесткие границы.

Изменение тепловой (или внутренней) энергии возникает в результате работы сил трения или сопротивления. Оно равно изменению механической энергии. Таким образом, сумма полной энергии тел при взаимодействии есть величина постоянная (с учетом преобразования механической энергии во внутреннюю).

Энергия измеряется в тех же единицах, что и работа. В итоге отметим, что изменить механическую энергию можно только одним способом - совершить работу.

Консервативные и неконсервативные силы

Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положением её начальной и конечной точек.

К классу консервативных относятся, например, гравитационные силы, упругие, силы электростатического взаимодействия.

Вычислим, например, работу, которую совершает сила тяжести при переходах частицы разными путями из положения 1 в положение 2 . Если этот переход произошёл по вертикали, то работа силы  :

                          .                  

Теперь пусть та же частица переместится из 1 в 2 по пути 1-1’-2. Здесь промежуточная точка 1’ находится на высоте h₂. 

Полная работа будет складываться из работ силы тяжести на участках 1-1’ и 1’-2:

.

Работа силы тяжести на горизонтальном участке 1’-2 равна нулю, так как здесь вектор силы нормален перемещению. Мы вновь получили прежний результат, свидетельствующий о том, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. Этот вывод легко обобщается и на случай произвольной криволинейной траектории, соединяющей начальную и конечную точки пути.

Гравитационная сила, сила упругости, кулоновская сила электростатического взаимодействия относятся к так называемым центральным силам.

Центральными называются силы, направленные к одной и той же точке (либо от неё). Эта точка называется силовым центром. Величина центральной силы зависит только от расстояния до силового центра r . 

Покажем, что все центральные силы консервативны.

Вычислим работу центральной силы на участке 1-2 произвольной траектории.

Элементарная работа силы на участке  :

.

Здесь dS_r = dSCosα — проекция вектора перемещения   на направление силы   (или r). Эта проекция представляет собой изменение расстояния dr до силового центра. Значит:

dA = F(r)dr.

Работа на конечном пути:

.

Так как по определению величина центральной силы есть функция только расстояния r, то значение определённого интеграла будет зависеть только от величин r₁ и r₂, и не будет зависеть от формы траектории.

Можно дать иное определение консервативной силы.

Рассмотрим перемещение частицы из положения 1 в положение 3 под действием консервативной силы   

Работа, совершаемая при этом силой  , не зависит формы от траектории, то есть  .

Теперь вычислим работу этой же силы на замкнутом пути 1-2-3-4-1. понятно, что её можно представить суммой работ на участках 1-2-3 и 3-4-1

.

При этом  .

Отсюда можно заключить, что работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю

.

Силы, работа которых на замкнутом пути не равна нулю, называются неконсервативными. К числу таких сил относятся, например, сила трения и сила вязкого сопротивления. Легко понять, что при движении частицы по замкнутому контуру работа подобных сил будет отрицательной.