Нелинейное программирование.

Рассмотрим постановку задачи нелинейного программирования.

Дано .

Даны ограничения .

Общих методов решения нет. В нем отличие нелинейного программирования от Линейного программирования.

1. Процессы поиска решения, как правило бесконечны (т.е. число шагов поиска).

2. Решение нелинейного программирования может быть как на границе так и внутри области ограничений, а в линейном программировании только на границе.

Какие способы применяются для решения нелинейного программирования?

1. Линеаризация нелинейностей и применение «Симплекс-метода».

2. Применение градиентных методов к задачам нелинейного программирования.

3. Методы штрафных функций.

Если выпукла, и если выпуклы, то их пересечение образует выпуклое множество, т.е. получается задача выпуклого программирования, где условный единственный.

Частный случай задачи выпуклого программирования –квадратичное программирование, где -квадрат функции, а ограничения линейные.

Мы будем рассматривать задачу квадратичного программирования и там, где это возможно, будут обобщать задачи квадратичного программирования на задачи выпуклого программирования.

Методы решения задачи квадратичного программирования.

1)Симплексные процедуры. Они для квадратичного программирования не являются конечными, как для линейного программирования.

Пример.

может быть как внутри многоугольника, так и на границе. Проверим, принадлежит ли точка абсолютного многоугольнику ограничений. Для этого найдем координаты абсолютного .

Рис.1

Теперь – принадлежит ли точка многоугольнику ограничений. Подставим и в .

т.к. 3>0 условие не выполняется.

И так, точка абсолютного не принадлежит многоугольнику, то решение задачи на условном может быть только на границе многоугольника ограничений, в данном примере.

На каком ребре достигает своего ? Если многоугольник имеет не слишком большое число ребер, вершин и граней, то решение можно найти простым перебором их. Можно сделать это методом Лагранжа.

Проверим, выполняются ли для другие ограничения.

- выполняются

выполняются.

Значит, точка может быть решением данной задачи. Вычисляем в этой точке значения .

Теперь проверим с

Проверим выполнение ограничения

выполняется.

не выполняются, следовательно, точки не являются решением.

Затем проверяем пересечение с ребрами многоугольника.

и - являются осями.

С осью точка имеет координаты

, т.е. больше чем .

Т.е. вообще не принадлежит многоугольнику. Далее проверяем нет ли решения в вершинах многоугольника?

Вершины (0) (1) (2) (3)

Значение 41 17 6,5 9+25=34

Сравним значения со значениями находим, что

является решением задачи.

Как это способ решения распространить на выпуклом программировании? Т.е. область ограничений выпукла. Её можно аппроксимировать многогранником и решать, как предыдущую квадратичную задачу. Решение получится приближенным. Следует иметь в виду, что задача аппроксимации в многомерном пространстве является весьма сложной задачей.