56. Бірқалыпты үлестіру

Бірқалыпты үлестірім. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы аралығында тұрақты болып, одан тыс жерде 0-ге тең болса, онда кездейсоқ шама бірқалыпты үлестірілген деп аталады: . Бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім қисығы (тығыздығы) 1-суреттегідей болады.

F(x)

f(x)

Теорема. Бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы

Бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы 2-суреттегідей болады. Математикалық үмітін есептейі Сонымен, бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті мынаған тең екен: .

Дисперсиясы мынаған тең: Дәлелдеуі қиын емес.

57. Қалыпты үлестіру.Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы берілсе, онда ол қалыпты үлестірім заңымен берілген дейді. Мұндағы - параметрлер деп аталады..Теорема. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті , дисперсиясы тең. Шынында да:

интегралы Эйлер интегралы деп аталады.

Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы Лаплас формуласы арқылы өрнектеледі Қасиеттері: 1. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың кесіндісіне түсу ықтималдығы мынаған тең:

мұндағы, - Лаплас функциясы.Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқуы шамадан артпауының ықтималдығы мынағын тең: Осы формуладан ықтималдықты - ның әртүрлі мәндерінде есептейік Осыдан «үш сигма ережесі» шығады: Егер кездейсоқ шама қалыпты үлестірілген болса, онда оның математикалық үміттен ауытқуының абсолют шамасы үш орта квадраттық ауытқудан ( ) аспайды.

59. Вариациялық қатардың сандық сипаттамалары: орта мән, дисперсия, мода, медиана, бастапқы және орталық моментттер, ассиметрия және эксцесс.

Мода және медиана. Ықтималдықтар теориясында кездейсоқ шаманың математикалық үміт, дисперсия, орташа квадраттық ауытқуынан басқа да сандық сипаттамалар қолданылады. Анықтама: Кездейсоқ шаманың ең ықтималды мәні мода деп аталады. белгілейді. Мысал. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы берілген.

Модасын табу керек. Шешуі. Кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының ең көбі 0,5. Ол ықтималдықты Х=2 болғанда қабылдайды, ең ықтималды мән, яғни модасы . Анықтама: Егер кездейсоқ шаманың белгілі бір х = мәнінде орындалса, онда кездейсоқ шаманың медианасы деп аталады

Геометриялық тұрғыдан қарағанда х= түзуі үлестірім қисығы астындағы ауданды тең екіге бөледі (6-суретМ ысал. X – үзіліссіз кездейсоқ шама үлестірім тығыздығымен берілген: (7-сурет). Модасы мен медианасын табу керек.

Шешуі. Үлес тығыздығы ең үлкен мәнін болғанда қабылдайды, сондықтан . = b медиананы мынадай шарттан табамыз: Сонымен, = 0,79. Анықтама. X кездейсоқ шамасының - ретті бстапқы моменті деп мынадай шаманы айтады А-ма. X кездейсоқ шамасының - ретті орталық моменті деп мынадай шаманы айтады болғанда бастапқы момент кездейсоқ шаманың математикалық үмітін береді , яғни кездейсоқ шаманың орта мәнін береді. болғанда орталық момент кездейсоқ шаманың дисперсиясын береді яғни кездейсоқ шаманың математикалық үміттен қаншалықты шашыраңқы орналасқанын көрсетеді. болғанда орталық момент үлестірімнің ассиметриялығын сипаттайды. Кездейсоқ шаманың өлшемімен бірдей болуы үшін оны -ке ( - орташа квадраттық ауытқу) бөледі Бұл шама кездейсоқ шаманың ассиметрия коэффициенті деп аталады. Егер үлестірім -ке қарағанда симметриялы болса, онда

8-суретте 1 – қисық оңжақтық ассиметрияны, ал 2 – қисық солжақтық ассиметрияны көрсетеді. болғанда орталық момент үлестірімнің сүйір не доғалданып келуін сипаттайды. Кездейсоқ шаманың эксцессі деп мынадай шаманы айтады Формулада 3 тұрған себебі, ең жиі кездесетін қалыпты үлестірімде . Қалыпты үлестіріммен салыстырғанда сүйірленіп келген үлестірімдердің эксцессі оң E > 0 (9-суретте 3-қисық) болады, ал қалыпты үлестіріммен салыстырғанда доғалданып келген үлестірімдердің эксцессі теріс E < 0 (9-суретте 1-қисық) болады. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама ассиметрия коэффициенті мен эксцессі нолге тең болады: .