50.Комбинаториканың негізгі ұғымдары.

Өмірде қарапайым бір әрекеттен ғана тұратын оқиғалар аз кездеседі. Көбіне бір оқиға орындалуының әр түрлі әдістері бар болады немесе қарастырып отырған оқиғаны бірнеше кезеңдерге бөліп орындау керек болады. Осындай оқиға­лардың жалпы және қолайлы жағдайлар санын есептеуге мүмкіндік беретін қосу және көбейту ережелерін білуіміз қажет.

Қосу ережесі. Қандай да бір оқиға орындалуының бірнеше m₁, m₂, ..., m_k түрлі тәсілдері болса сол оқиғаны орындаудың барлығы

m₁+m₂+...+m_k

түрлі тәсілі бар болады.

Көбейту ережесі. k кезеңнен тұратын қандай да бір оқиғаны іске асыру керек болсын. Бірінші кезеңді орындаудың m_1, екінші кезеңді орындаудың m₂ т.с.с. k кезеңді орындаудың m_k тәсілі бар болса сол оқиғаны толық іске асырудың барлығы

m₁m₂...m_k

түрлі тәсілі болады.

Алмастырулар. п элементтен тұратын және бір-бірінен тек орналасу ретімен ғана өзгешеленетін комбинацияларды п элементтен жасалған алмастырулар деп атайды. Элементтен жасалған алмастырулар санын Р_n деп белгілейді және алмастырулар санын есептеу үшін мынадай формула қолданады:

Р_n=n!

Мұндағы n!=123...n.

Орналастырулар. N элементтің m элементінен тұратын (m<n) және бір-бірінен құрамы немесе орналасу реті бойынша өзгешеленетін комбинациялар n элементтен m элемент бойынша жасалған орналас­тырулар деп аталады.

n элементтен m элемент бойынша жасалған орналастыру санын деп белгілейді және оны есептеу үшін мына формула қолданылады:

Терулер. N элементтің m элементі­нен тұратын (m<n) және бір-бірінен құрамы бойынша ғана өзгешеленетін комбинация­лар n элементтен m элемент бойынша жасалған теру деп аталады.

n элементтен m элемент бойынша жасал­ған теру саны деп белгіленеді және оны табу үшін мына формула қолданылады:

51.А мен В оқиғаларының кемінде біреуі орындалғанда пайда болатын оқиғаны осы оқиғалардың қосындысы деп атайды және А+В деп белгілейді.

А мен В оқиғалары қатар пайда болғанда орындалатын оқиғаны осы оқиғалардың көбейтіндісі деп атайды және АВ деп белгілейді.

Үйлесімсіз екі оқиға қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады:

.

Бұл теорема оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, онда

Егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құраса, онда

.

Қарама қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:

.

Тәуелсіз А мен В оқиғаларының көбейтіндісінің ықтималдығы әр оқиға ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:

.

Үйлесімді екі оқиға қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысынан екі оқиғаның қатар пайда болу ықтималдығын алғанға тең болады:

.

52.Тәуелсіз п рет тәжірибе жасадық дейік. Әр жолы ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болсын. Онда А оқиғасының пайда болмауы болады. Енді осы тәжірибелер нәтижесінде А оқиғасы k рет пайда болу ықтималдығын деп белгілейді және ол мынаған тең:

Осы формуланы Бернулли формуласы деп атайды.

Егер тәжірибелер саны көп болып (п ), ондағы А оқиғасының пайда

болу ықтималдығы ( ) аз болса, ықтималдықты Пуассон формуласымен есептеу қолайлы:

мұндағы, , және деп есептейміз.

53. Тәжiрибе нәтижесiнде алдын-ала белгiсiз, бiрақ нақтылы бiр мән ғана қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деймiз.

Кездейсоқ шамаларды латын алфабитiнiң үлкен әрiптерiмен (Х, У, Z), ал олардың қабылдайтын мүмкiн мәндерiн кiшi әрiптерiмен (х₁, х₂,..., х_п ,у₁,у₂,..., z₁, z₂,...) белгiлейдi.

Ақырлы немесе ақырсыз саналатын мәндер қабылдайтын кездейсоқ шаманы дискреттi кездейсоқ шама деп атайды.Оның түрлері дискретті және үзіліссіз.

Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi мен олардың сәйкес ықтималдықтарын көрсетiп жа зуды дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы деп атайды

Сандық сипаттамалары.Кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерiн сәйкес ықтималдықтарына көбейтiп қосқаннан шыққан санды кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп атайды да, М(Х) деп белгiлейдi.

М(Х) = х₁р₁+х₂р₂+...+х_np_n

Математикалық үмiттiң мынадай қасиеттерi бар:

1-қасиет. М(С) = С.

2-қасиет М(СХ) = СМ(Х).

3-қасиет М(Х+У) = М(Х)+М(У).

4-қасиет М(ХУ) = М(Х)М(У).

5-қасиет. М(Х-М(Х))=0

Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуы квадратының математикалық үмiтiн дисперсия деп атайды да, D(X) деп белгiлейдi:

D(Х)=М{Х-М(Х)}².

1-қасиет D(С) = 0.

2-қасиет D(СХ) = С²М(Х).

3-қасиет D(Х+У) = D(Х)+D(У).

4-қасиет D(Х-У) = D(Х)+D(У).

Кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбiр орта квадраттық ауытқу деп аталады да деп белгiленедi:

.