11. Кеңістікте координаталары белгілі және векторлары берілген.

векторының ұзындығы қалай анықталады?

векторын санға көбейту қалай анықталады?

және векторларының қосындысы қалай анықталады?

және векторларының скалар көбейтіндісі қалай анықталады?

және векторларының арасындағы бұрыш қалай табылады?

және векторларының арасындағы бұрышты табу керек.

векторының ұзындығы деп АВ кесіндісінің ұзындығын айтады және деп белгілейді.

векторының санға көбейтіндісі деп ұзындығы болатын, бағыты >0 болғанда векторымен бағыттас, <0 болғанда векторымен қарама-қарсы бағытта болатын векторын айтады.

және векторларының қосындысы «үшбұрыш» не «параллелограмм» ережесімен анықталады:

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең шаманы айтады:

12.R сызықты кеңістіктің векторлары x, y, z, …, u болсын. Мынадай

v= x+ y+ z+…+ u

теңдікпен анықталған v векторы осы кеңістікте жатады, мұндағы -нақты сандар. Осы v векторды x, y, z, …, u векторларының сызықты комбинациясы деп атайды.

Айталық x, y, z, …, u векторларының сызықты комбинациясы 0 ноль вектор болсын, яғни

x+ y+ z+…+ u= 0. (1)

Анықтама. (1) теңдік барлық = = =…= =0 болған кезде ғана орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелсіз деп аталады. Ал егер (1) теңдік , , ,…, сандарының ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болғанда орындалса х, y, z, …, u векторлары сызықты тәуелді деп аталады.

Мынадай тұжырымның дұрыстығына көз жеткізу қиын емес: Егер x, y, z, …, u векторлар сызықты тәуелді болса, онда бұл векторлардың біреуі басқаларының сызықты комбинациясы арқылы жіктеледі. Және керісінше, Егер x, y, z, …, u векторлардың біреуі басқаларының сызықты комбинациясы арқылы жіктелсе, онда бұл векторлар сызықты тәуелді болады.

Жазықтықтағы коллинеар емес екі вектор сызықты тәуелсіз векторға мысал болады. Шынында да, жазықтықтағы және векторлары үшін (1) теңдік

+ =0

тек = =0 болғанда ғана орындалады. Ал, олай демесек, мысалы болса, онда =- болып, пен векторларының коллинеарлығын білдірген болар еді. Ал бірақ жазықтықтағы кез келген үш вектор сызықты тәуелді болады

13-билет. Векторды базис бойынша қалай жіктейді?

Базистік өлшемді векторлық кеңістіктің сызықты тәуелсіз векторларының жиынын базис құрайды.

Егер коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды.

Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды

14-билет. Жазықтықта және екі нүкте берілсін.

Осы екі нүкте ара қашықтығын қалай есептейді?

1. Екі нүкте ара қашықтығы. Жазықтықта және екі нүкте берілсін. Осы екі нүкте ара қашықтығын, немесе АВ кесіндісінің ұзындығын, мына формуламен есептейді:

.

1 5.Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінде векторының басы мен соңының координаталары белгілі болсын және . Сонда векторын координаталары арқылы былай жазуға болады:

=

Вектордың ұзындығы оның координаталарының квадраттарының қосындысынан алынған квадрат түбірге тең.

Жазықтықтағы түзу (1-сурет) Оу осін В(0;b) нүктесінде қиып, Ох осімен (0< < ) бұрыш жасасын. Түзу бойынан қандай да бір М(х,у) нүкте алайық. Түзудің Ох осімен жасаған бұрышының тангенсін ВМК үшбұрышынан табамыз:

(1)

деп белгілеп, түзудің бұрыштық коэффициенті деп атау қабылданған. Сонымен:

.

Осы қатынастан у-ті тапсақ:

y=kx+b (2)

Түзу бойында жатқан кез келген нүктенің координатасы (2) теңдеуді қанағаттандырады да түзуден тыс жатқан нүктелер бұл теңдеуді қанағаттандырмайды.

Теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі деп аталады.

Түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуіндегі b=0 болсын. Онда түзу теңдеуі y=kx түрге келеді де, түзу координат басынан өтеді.

16.Берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуі. және нүктелері берілсін. АВ түзуінің теңдеуін жазу үшін А нүктесі арқылы өткен түзулер шоғының теңдеуін жазамыз:

y =k(x – x₁)+ y_1.

АВ түзуі нүктесі арқылы өтетіндіктен, нүкте координатасы түзу теңдеуін қанағаттандыруы керек: y₂ =k(x₂ – x₁)+ y_1. Осы теңдіктен белгісіз k табылады, . Табылған мәнді теңдеудегі орнына қойып, берілген екі нүкте арқылы өткен түзу теңдеуін аламыз:

17-билет. Түзудің “кесіндідегі” теңдеуінің жалпы түрі қандай?

Т үзудің “кесіндідегі” теңдеуі. Түзу Ох осінен а-ға тең, Оу осінен b-ға тең кесінді қиып өтсін (8-сурет). Түзу А(а;0) және В(0;b) нүктелері арқылы өтеді деп, (5) теңдеуді қолданайық. Сонда түзу теңдеуі мынадай түрде жазылады:

Енді ықшамдасақ, түзудің “кесіндідегі” теңдеуін аламыз:

18-билет. Түзулердің паральелдік және перпендикульярлық шарттарын жаз.

Екі түзудің параллелдік және перпендикулярлық шарты. Егер екі түзу параллель болса, онда =0 болады да tg =0. Бұл жағдайда (7) формула мынадай түрге келеді: k₂ – k₁ = 0. Осыдан екі түзудің параллелдік шарты шығады: k₂ = k₁ , яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері тең болса, ол түзулер параллель болады және керісінше.

Егер екі түзу перпендикуляр болса, онда болады да, , . Осыдан екі түзудің перпендикулярлық шарты шығады:

k₂ = , (9)

яғни екі түзудің бұрыштық коэффициенттері мәндері бойынша кері, таңбалары бойынша қарама-қарсы болса, ол түзулер перпендикуляр болады және керісінше.

19. Түзудің жалпы тендеуі Жазықтықтағы түзу (1-сурет) Оу осін В(0;b) нүктесінде қиып, Ох осімен (0< < ) бұрыш жасасын. Түзу бойынан қандай да бір М(х,у) нүкте алайық. Түзудің Ох осімен жасаған бұрышының тангенсін ВМК үшбұрышынан табамыз:

(1)

деп белгілеп, түзудің бұрыштық коэффициенті деп атау қабылданған. Сонымен:

.

Осы қатынастан у-ті тапсақ:

y=kx+b

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық. Тік бұрышты координаталар жүйесінде қандай да бір түзу Ах+Ву+С=0 және түзуден тыс жатқан нүкте М(х₀,у₀) берілсін.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық деп нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр ұзындығын айтамыз. Суретте ол d=MN. Осы ара қашықтықты табу үшін: а) Берілген түзуге перпендикуляр және М(х₀,у₀) нүктесі арқылы өтетін түзу теңдеуін тауып аламыз; б) Берілген түзу мен MN түзулерінің теңдеуін жүйе етіп шешіп, олардың қилысу нүктесі N табамыз; в) екі нүктенің ара қашықтығын есептейтін формула көмегімен d=MN ара қашықтықты есептейміз. Нәтижесінде мынадай формула алынады:

20. Жиын – математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Ол қарапайым математикалық ұғымға жататындықтан, оған арнайы анықтама берілмейді. Ол аксиомалық жолмен енгізіледі. Дегенмен. Жиынды мысалдар арқылы түсіндіруге болады. Мысалы, университетті алып қарастыратын болсақ, ондағы әрбір студент, осы университет жиынының элементі болып табылады. Жиынды латынның бпс үлкен әріптерімен белгілейді (А,В). А-универ жиыны мен ЭА-яғни, мен осы жиын элементімін. Ал мектеп оқушысы э/А. А жиынының кез-келген элементі В жиынына да тиісті болса, А жиынын мен В жиынының ішкі жиыны деп аталады.

Жиын – қандай да бір обьектінің ортақ нысандарымен біріктірілген және біртұтас бүтін ретінде қарастырылатын біртекті элементтер жиынтағы.

N – натуралдар сандар жиыны.

Z – бүтін сандар жиыны

Q – рационал сандар жиыны

J – рационал сандар жиыны, ақырсыз периодсыз, периодсыз ондық бөлшек түрінде жазылатын сандар.

Q U J = R

Жиындардың бірігуі – екі жиынның барлық элементтері

AUB

Жиындардың қиылысуы – екеуінде де бар элементтер

Жиындардың айырмасы – біріншінің екіншіде жоқ элементтері

21. Функция немесе функциялық тәуелділік ұғымы түрлі шамалар, экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланыстарды моделдейтін математиканың маңызды ұғымы.

Анықтама. Х жиынының әрбір х элементіне ( ) белгілі бір заң немесе ереже бойынша У жиынының у элементі сәйкес қойылса, онда Х жиынында функция берілген деп атайды.

х және у шамаларының арасындағы функциялық тәуелділікті y=f(x) деп белгілейді, мұндағы х - аргумент(тәуелсіз айнымалы), у – функция(тәуелді айнымалы), f – ереже немесе заң.

Берілген функция анықталатын х аргументтерінің жиынын функцияның анықталу облысы деп, ал сәйкес у айнымалылардың жиынын функцияның мәндер жиыны деп атайды. Әдетте анықталу облысын D(f) деп, ал мәндер жиынын E(f) деп белгілейді.

Функция түрлі тәсілдермен берілуі мүмкін. Ең көп және маңызды берілу түрлері: аналитикалық(формула түрінде), кестелік және графиктік.

1. Шенелген функция. Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін қандай да бір М нақты сан табылып f(x)<M теңсіздігі орындалса функция жоғарыдан шенелген, ал f(x)>M теңсіздігі орындалса функция төменнен шенелген деп аталады

Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін қандай да бір М нақты сан табылып |f(x)|<M теңсіздігі орындалса функция шенелген деп аталады.

2. Жұп және тақ функция. . Егер функцияның анықталу облысындағы кез келген х үшін

f(-x)=f(x)

теңдігі орындалса функция жұп деп, ал

f(-x)=-f(x)

теңдігі орындалса функция тақ деп аталады.

22. y=f(х) функция графигі белгілі болса төмендегі функциялардың графиктерін салуға болады:

1. y=f(х)+b. Бұл функция графигі берілген функция графигін Оу осі бойымен b шамаға ( b>0 болса жоғары, b<0 болса төмен) жылжыту арқылы салынады (5а-сурет).

2. y=f(х+a). Бұл функция графигі берілген функция графигін Ох осі бойымен a шамаға ( a>0 болса солға, a<0 болса оңға) жылжыту арқылы салынады (5б-сурет).

3. y=|f(х)|. Егер болса, болады, яғни Ох осінің жоғары жағында жатқан функция графигін өзгертусіз қалдыру керек. Егер болса, болады, яғни Ох осінің төменгі жағында жатқан функция графигін Ох осіне қарағанда симметриялы жоғары бөлікке бейнелеу керек (8а-сурет).

4. y=f(|х|). Функция жұп, сондықтан функция графигі Оу осіне қарағанда симметриялы болады. болса, болады, яғни Оу осінің оң жағында жатқан функция графигін өзгертусіз қалдыру керек және осы бөлікті Оу осіне қарағанда симметриялы сол бөлікке бейнелеу керек (8а-сурет).

23. Енді функция шегінің анықтамасына көшейік. y=f(х) функциясы қандай да бір х₀ нүкте маңайында анықталған болсын.

Анықтама. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х₀-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады:

.

24. Теорема. функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ жағдайда шегі бар және

Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды.

Бірінші тамаша шек салдары:

1) , 2) , 3) .

25.Екінші тамаша шек деп қандай шекті айтады?

Теорема. функциясының жағдайда шегі бар және

Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.

Екінші тамаша шек салдары:

1) , a=e болғанда ;

2) , a=e болғанда ;

3)

26. Ақырсыз аз функция дегеніміз не?

функциясының жағдайда шегі ноль болса, яғни , онда функциясы жағдайда ақырсыз аз функция деп аталады.

Осы анықтаманы “ ” тілінде былай да айтуға болады: Кез келген үшін саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін теңсіздігі орындалса, функциясы жағдайда ақырсыз аз функция деп аталады.

Ақырсыз аз функция қасиеттері.

1. Егер функциясының жағдайда А шегі бар болса, онда функциясын осы А саны мен жағдайда ақырсыз аз болатын функция қосындысы түрінде жазуға болады, яғни .

2. Ақырсыз аз функцияның шенелген функцияға (сонмен қатар, тұрақтыға, басқа ақырсыз азға) көбейтіндісі ақырсыз аз функция болады.

3. Ақырсыз аз функцияның шегі нолден өзге функцияға қатынасы ақырсыз аз функция болады.

Ақырсыз аздарды қалай салыстырады?

Салыстыру үшін олардың қатынасының жағдайдағы шегін қарастырады.

Айталық және жағдайда ақырсыз аз функциялар және болсын. Онда, егер