15 Сұрақ. Векторлар жүйесінің базисі мен рангі. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелді болуының белгілері.

{а_1, а_2, …, а_m}={α₁a₁+…+ α_ma_m/ α ; € k, i=1,m}барлық сызықтық комбинанциясы жиынның бірінші векторлар жүйесінің сызықтық қабықшасы деп атаймыз.

Тек нөлдік сызықтық комбинациясы ғана нөлдік векторға тең болатын векторлар жүйесін сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі деп аталады.

а₁,а₂,…,а_m сызықтық тәуелсіз

ɏ α_1,α_2,..., α_m€K үшін α₁ а₁+ α₂а₂+...+ α_ma_m=Ɵ→ α₁= α₂=…= α_m=0

сызықты тәуелсіз болмайтын векторлар жүйесін сызықты тәуелді векторлар жүйесі деп аталады.

Яғни , қандайда бір нөлдік емес сызықтық комбинациясы нөлдік векторға тең болатын векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады.

α_1,α_2,..., α_m сызықты тәуелді , табылады → α₁= α₂=…= α_m€ k

а₁=(1,2,-1,-2)

а₂=(2,1,-3,-1)

а₃=(-1,-5,0,5)

-3а₁+а₂-а₃=Ɵ

-3+2-(-1)=Ɵ

а₁,а_2,а₃ сызықты тәуелді қасиеттері:

1. Құрамында нөлдік вектор болатын кез келген векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады.

а,в,с,...,Ɵ

0*а+0*в+0*с+…+1*Ɵ=Ɵ

2. Құрамында екі бірдей вектор болатын векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады.

а,а,в,с,...,f

1*a+(-1)a+0*в+0*c+…+0*f=Ɵ

3. Құрамында екі пропорционал вектор бар векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады

а,ƛ,а,в,с,...,f

(-ƛ)*a+1*ƛa+0*в+0*с+…+0* f

Теорема. Сызықты тәуелділік белгісі векторлар жүйесі сызықты тәуелді болу үшін оның құрамындағы вектор бір вектор қалған векторлар арқылы сызықты өрнектелуі қажетті және жеткілікті.

α_1,α_2,..., α_m сызықты тәуелді болсын ,онда табылады → α₁= α₂=…= α_m

α₁≠0 → α₁ а₁=- α₂а₂-...- α_ma_m →

а₁=(- α₂/ α₁)a₂+…+=(- α_m/ α₁)a_m

a_k=ƛ₁a₁+…+ ƛ_k-1a_k-1+ ƛ_k+1a_k+1 +…+ ƛ_ma_m

→ ƛ₁a₁+…+ ƛ_k-1a_k-1+(-1) a_k+ ƛ_k+1a_k+1+…+ ƛ_ma_m=Ɵ

16 Сұрақ. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелді және тәуелсіз болуының қажетті және жеткілікті шарттары

Анықтама 1. Тек нөлдік сызықты комбинациясы ғана нөлдік векторға тең болатын векторлар жүйесін сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі деп атайды.

1. а₁,а₂,…,а_m cызықты тәуелсіз , егер кез келген α₁, α₂,…,α_m тиісті К үшін α₁a₁+α₂a₂+…+α_ma_m=Ө =˃ α₁= α₂=…=α_m=0.

2. Сызықты тәуелсіз болмайтын векторлар жүйесін сызықты тәуелді векторлар жүйесі деп атайды. Яғни қандай да бір нөлдік емес сызықты комбинациясы нөлдік векторға тең болатын векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады.

Қасиеттері:

1. Құрамында нөлдік вектор болатын кез келген векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады.

a, b, c, …, Ө

0*a+0*b+0*c+…+1* Ө= Ө

2. Құрамында екі бірдей вектор болатын векторлар жүйесі сызықты тәуелді.

a, b, c, …, f

a+a*(-1)+ 0*b+0*c+…+f*0= Ө

3. Құрамында екі пропорционал векторы бар векторлар жүйесі сызықты тәуелді болады.

a, ƛ*a, b, c, …, f

-ƛ*a+ ƛ*a+0*b+0*c+…+f*0+…= Ө

Th.(сызықты тәуелділік белгісі)

Векторлар жүйесі сызықты тәуелді болу үшін оның құрамындағы бір вектор қалған векторлар арқылы сызықты өрнектелуі қажетті әрі жеткілікті.

Th (векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен тәуелсіздігінің қажетті және жеткілікті шарттары)

1. Векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болу үшін оның кез келген ішкі жүйесі сызықты тәуелсіз болуы қажетті және жеткілікті.

Векторлар жүйесі сызықты тәуелді болу үшін оны қамтитын кез келген векторлар жүйесінің сызықты тәуелді болуы қажетті әрі жеткілікті.