7 Сұрақ. Көпмүшеліктер сақинасы. Көпмүшеліктерге амалдар қолдану. Қалдықпен бөлу туралы теорема.

K жиынын сақина деп атаймыз, егер осы жиында көбейту жəне қосу амалдары анықталып, бұл амалдар үшін ауыстырымдылық, терімділік, дистрибутивтық заңдары орындалса, жəне қосу үшін кері алу амалы анықталған болса. L ⊂ Kболсын. Онда L жиынын K сақинасының ішкі сақинасы деп айтамыз, егер x,y L  x-y L , x*y L. K сақинасының кез келген элементтері берілсін.

өрнегін K сақинасындағы бір айнымалылы көпмүше деп атаймыз. K сақинасында x айнымалылы көпмүшелер жиынын K [X] арқылы белгілейміз. F көпмүшесінің дəрежесін degF символымен белгілейміз. Нольдік көпмүшенің 0 дəрежесі −∞ деп аламыз.

К сақинасындағы

f(x) =

g(x) = β0+ β1*x+ β2*x²+…+ βm*xᵐ

көпмүшелерінің қосындысы деп

(f+g)(x) = (α0+β0) + (α1+β1)*x + (α2+β2)*x² + … + (αm+βm)*xᵐ көпмүшесін айтамыз.

K сақинасындағы

f(x) =

g(x) = β0+ β1*x+ β2*x²+…+ βs*xˢ

көпмүшелерінің көбейтіндісі деп

δᵢ = , {i = 0,1,2,…,n+s} формуласы бойынша табылатын (f*g)(x) =δ0 + δ1*x + δ2*x² + … + δn+s* көпмүшесін айтамыз. a*f көпмүшесінің коэффициенттері f көпмүшесінің барлық коэфффициенттерін α көбейткішіне көбейту арқылы алынады.

8 Сұрақ. Көпмүшеліктіктің еүоб және екое. Евклид алгоритмі. Еүоб-тің сызықты өрнектелуі.

ЕҮОБ және ЕКОЕ.Оларды табу. f және g көпмүшеліктерінің екеуіне де бөлінетін көпмүшелікті олардың ортақ бөлгіші деп атайды.Ортақ f gкөпмүшелерінінің ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп келесі екі шартты қанағаттандыратын d көпмүшесін айтамыз:

1) d|f,d|g; яғни d көпмүшесі f пен g-ның ортақ бөлгіші

2) кез келген h көпмүшесі үшін, егер h|f жəне h|g болса, онда h|d,яғни f пен g-ның барлық ортақ бөлгіштерінің арасында d көпмүшесі ең “үлкен” болады.

Тұжырым. Егер d көпмүшесі f пен g-ның ЕҮОБ,ал болса,онда көпмүшесі де f пен g-ның ЕҮОБ болады. Егер көпмүшелері екеуі де f пен g-ның ЕҮОБ болса,онда нөлден өзгеше бір үшін теңдігі орындалады.

Дәлелдеу. көпмүшелері екеуі де ЕҮОБ анықтамасының шартын қанағаттандырсын.Егер -ді f пен g көпмүшелерінің ортақ бөлгіші,ал -ні f пен g-ның ортақ бөлгіштерінің арасындағы ең үлкені деп қарастырсақ,онда аламыз.Сонан соң -нің ролдерін ауыстырып алып, қатысын аламыз.Ендеше,бөлінгіштіктің қасиеті бойынша Р өрісінің нөлден өзгеше бір элементі үшін теңдігі орындалады f және g көпмүшеліктерінің екеуінеде бөлінетін көп1мүшеліктерді олардың ортақ еселігі деп атаймыз.Ортақ еселіктерінің ішіндегі дәрежесі ЕКОЕ деп аталады.

f g көпмүшелерінің ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) деп келесі екі шартты қанағаттандыратын m көпмүшесін айтамыз

1) f|m,g|m,

2) кез келген h көпмүшесі үшін, егер f|h жəне g|h болса, онда m|h. Егер m көпмүшесі f пен g-ның ЕКОЕ,ал болса,онда көпмүшесіде f пен g-ның ЕКОЕ болады. Егер екеуіде f пен g-ның ЕКОЕ болса,онда нөлден өзгеше бір үшін теңдігі орындалады. ЕКОЕ (f,g) арқылы f пен g көпмүшелерінің ең кіші ортақ еселіктер жиынын белгілейміз. Көпмүшелердің ЕҮОБ-мен ЕКОЕ-нің арасындағы қатыс бүтін сандардың ЕҮОБ-мен ЕКОЕ-нің арасындағы қатысы секілді.