4 Сұрақ. Комплекс сандар өрісі. Комплекс сандарға амалдар қолдану. Комплекс сандардың алгебралық түрі
Комплекс
сан деп
a+bi түріндегі сан аталады, а, b
2=-1.
i саны келесі теңдеудің шешімі х2=-1.
бұл жерде а осы санның накты бһлігі, ал
b жорамал бөлігі деп аталады. Келесі
белгілеулерді енгізейік: a+bi=z, Re(z)=a,
Im(z)=b.
a1+b1i=z1,
a2+b2i=z2
комплекс сандарын карастырайық. Осы
екі сан тең деп аталады, егер Re(z1)=
Re(z2),
Im(z1)=
Im(z2)
теңдіктері орындалатын болса.
a1+b1i=z1, a2+b2i=z2 комплекс сандары берілсін. Егер а=а1+b1 және b=b1+b2 теңдіктері орындалатын болса онда a+bi=z комплекс саны z1 мен z2 комплекс сандарының қосындысы деп аталады да z=z1+z2 арқылы белгіленеді.
Қосу амалының қасиеттері:
z1+z2=z2+z1
(z1+z2)+z3= z1+(z2+z2)
z+0=0+z=z
z1+z2=z2+z1=0
a1+b1i=z1, a2+b2i=z2 комплекс сандарының z көбейтіндісі деп Re(z)=a»аә-b1b2, Im(z)=a1b2+a2b1 ормулалары арқылы есептейтін және z1*z2 деп белгіленетін комплекс санды айтады.
Көбейту амалының қасиеттері:
z1*z2=z2*z1
(z1*z2)= z1*(z2*z3)
z*1=1*z=z
z1*z2=z2*z1=1
теңдіктері орындалатындай z2 комплекс саны табылады.
z2 комплекс саны z1 комплекс санына кері сан деп аталады.
=a-bi
комплекс саны z=a+bi санына түйіндес деп
аталады.
Түйіндес алу амалының қасиеттері:
1.
=
1+
2
2.
=
1*
2
3.
4.
5.
2
a1+b1i=z1,
a2+b2i=z2
комплекс сандарының z бөліндісі деп
формулалары
арқылы есептелетін және
деп белгіленетін комплекс санды айтады.
a1+b1i=z1, a2+b2i=z2 комплекс сандары берілсін, егер a=a1-b1 және b=b1-b2 теңдіктері орындалатын болса онда a+bi=z комплекс саны z1 мен z2 комплекс сандарының айырмасы деп аталады да z=z1-z2 арқылы белгіленеді.
5 Сұрақ. Комплекс сандардың тригонометриялық түрі. Тригонометриялық түрдегі сандарды комплекс сандарды көбейту, бөлу және дәрежеге шығару.
Z
= a+i*b;
Sinα = b/r ал cos α = a/r болса , онда a = r*cos α және b = r*sin α;
Z = r*(cos α + i*sin α) турінде болады, мундағы α – аргумент , r – z модулі,
Оларды көбейту
Z1 = r1*(cos α1 + i*sin α1) және Z2 = r2*(cos α2 + i*sin α2) комплекс сандары берілсін,енді оларды көбейтсек
Z1*z2 = r1*r2*[(cos α1*cos α2 - sin α1*sin α2) + i*(cos α1*sin α2 + cos α2*sin α1)] =>
Z1*z2 = r1*r2*[cos(α1+ α2) + i*sin(α1+ α2)] түріне келеді
Демек оларды көбейту ушін модульдерін көбейтіп , аргументтерін қоссақ жеткілікті.
Оларды бөлу
=
=
(r1/r2)*[cos(α1- α2) + i*sin(α1- α2)]
Демек оларды бөлу ушін модульдерін бөліп , аргументтерін азайсақ жеткілікті.
Оларды дәрежеге шығару
Z комплекс санын n-ші дәрежеге шығару дегеніміз оны n-рет көбейткенге тең, демек
Z^n = r^n * (cos(n* α) + i*sin(n* α)) яғни модулін n-ші дәрежеге шығарып , аргументтерін n –ға кобейтсек жеткілікті. Бұл МУАВР формласы деп аталады.
6 Сұрақ. Тригонометриялық түрдегі комплекс сандардан түбір табу. 1-дің түбірлері және оның қасиеттері
Мысалы
комплекс саны берілсін , U=
болсын , онда U^n = z болады .
U
= r*(cosθ
+ i* sinθ)
болса U^n = r^n*(cos(n*θ
) + i*sin(n*θ))
болады , cos(n*θ)
= cos
sin(n*θ)
= sin
θ
=
, k
, сонда
=
* [ cos
+ sin
] турінде болады.
Тұжырым 1. Кез келген нөлден өзгеше комплекс санының -дəрежелі n түбірі бар.
Осы түбірлердің барлығы центрі координаталардың бас нүктесінде жатқан, радиусы тең шеңберді іштей сызылған дұрыс n -бұрыштың төбелеріне сəйкес келеді:
1-дің түбірлері және олардың қасиеттері
Z
= 1 сонда
=[ cos
+ sin
] k
{0,1,…,n-1}
болатын бірдің түбірлері шығады.
Тұжырым 2. Бірдің n -дəрежелі түбірлер жиыны көбейту жəне кері айналдыру
амалдарға қатысты түйық болады.
Егер ε∈ түбірі бірдің ешқандай n-нен кіші дəрежелі түбірі болмаса, онда ε бірдің
n-дəрежелі алғашқы түбірі деп аталады.
Теорема 1. Ε(k) бірдің қандайда бір n-дəрежелі түбірі болсын. Онда келесі үш тұжырым
өзара эквивалентті болады:
а) Ε(k)- алғашқы түбір;
б) ε(k) , ε²(k),…, εᵐ(k) - өзара тең емес сандар;
в) k мен m - өзара жəй сандар.