33 Сұрақ. Аралас көбейтінді және оның геометриялық мағынасы

Аняқтама: Үш вектордың аралас көбейтіндісі деп алғашқы екі вектордың векторлық көбейтіндісін үшінші вектормен скалярлық көбейтіндісін айтады және былай белгіленеді:

.

1-қасиет: Үш вектордың аралас көбейтіндісінің сан мәні осы векторлардан тұрғызылған параллелепипедтің көлеміне тең:

Салдар:

2-қасиет: Аралас көбейтіндіде ауыстырымдылық заңы орындалады.

3-қасиет: Кез келген вектордың тұрақты көбейткішін аралас көбейтінді таңбасының алдына шығаруға болады:

Мысал:

Координаталарымен берілген векторлардың аралас көбейтіндісі:

векторлары берілсін.

Үш вектордың аралас көбейтіндісі осы векторлардың координаталарынан құралған үшінші ретті анықтауышқа тең.

Мысал: Төбелерінің координаталары берілген АВСД пирамиданың көлемін табыңдар. Үш вектор құрамыз:

Компланар векторлардың аралас көбейтіндісі нөлге тең.

Үш вектордың компланарлығының шарты.

Мысал: А(1;2;-1); В(0;1;5); С(-1;2;1); Д(2;1;3) берілген нүктелердің бір жазықтықта жататынын көрсету керек.

Демек, төрт нүкте бір жазықтықта жатады.

34 Сұрақ. Жазықтықтағы түзулердің теңдеулері

Координат жүйесі бар жазықтықтағы түзудің теңдеуі ax+by+c=0 болады, мұндағы a,b,c тұрақты сандар.

Мысалы 2x+y+3=0.

ax+by+c=0 теңдеуін y бойынша шешейік:

ax+by+c=0

by=-ax -c 

y=  x +  

=k,  =c₀  деп белгілесек:

y=kx+c₀

яғни

y=kx+c₀

Мысалы.

y=3x-2

Сонымен жазықтықтағы кез келген түзу ax+by+c=0 не y=kx+c₀ теңдеуімен беріле алады.

35 Сұрақ. Түзудің жалпы теңдеуі бойынша зерттеу

Жоғарыдағы және (2.20) теңдеулерін талдағанда түзу сызықтың теңдеулеріндегі х және у айнымалылар өзарасында сызықты тәуелділік құрайды, сондықтан түзудің жалпы теңдеуін былай жазуға болады деп қортынды шығарамыз. Осы теңдеудің дербес жағдайларын қарастырайық

1. Айталық С=0, онда (2.26) теңдеудің түрі болады. Бұл теңдеу координат басы арқылы өтетін түзудің теңдеуі.

2. Егер , онда теңдеудің түрі болады . Осыдан , немесе мұнда . Бұл х=а теңдеу Оу осіне параллель түзу сызықтың теңдеуі, егер а=0, онда х=0 теңдеу Оу осінің теңдеуі.

3. А=0 , онда түзудің (2.26) жалпы теңдеуі Ву+С=0 түрін қабылдайды. Ал осыдан , немесе у=в, белгіленген.

у= теңдеуі ОХ осіне параллель түзу сызықтың теңдеуі. Егер болса, онда у=0 теңдеу ОХ осінің теңдеуі болады.

6. Кесінді арқылы берілген түзудің теңдеуі. Түзудің Ах+Ву+С=0 жалпы теңдеуі берілсін, мұнда А≠0, В≠0, С≠ 0. Осы теңдеуден Ах+Ву=-С немесе немесе

(2.27) кесінді арқылы берілген теңдеу деп аталады. Мұндағы а= сандары түзудің сәйкес ОХ және ОУ координаталар осьтерін қиятын кесінділер шамалары.

Мысал . Айталық 3х+5у-15=0 түзудің теңдеуі берілсін. Кесінді арқылы берілген теңдеудің түріне келтіру керек және оның графигін салыңыз Шешімі: Берілген теңдеуден табамыз 3х+5у=15 .

Осы теңдеудің екі жағында 15 бөлеміз.

3 онда

5

10 -шы сурет

Мұндағы а=5 =3 сәйкес ОХ және ОУ остеріндегі берілген түзудің қиған кесінділерінің (10-сурет) шамалары.