32 Сұрақ. Векторлық көбейтінді және оның геометриялық мағынасы

Анықтама: Екі   және   векторларының векторлық көбейтіндісі деп мына шарттарды қанағаттандыратын үшінші   векторын айтамыз:

1)   векторының модулі сол векторлардың модульдері мен арасындағы бұрыштың синусына көбейтіндісіне тең:

2)   векторы   және   векторының әрқайсысымен   

3)   үш векторы оң үштік вектор құрайды. 

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:

1) Векторлық көбейтіндінің модульі   мен   векторлары арқылы анықталған параллелограмм ауданына тең, яғни

2) Векторлық көбейтіндіде ауыстырымдылық заңы орындалмайды, яғни

3) Векторлық көбейтіндіні λ санына көбейту үшін вектордың біреуін осы санға көбейту жеткілікті:

4) Векторлық көбейтіндіде үлестірімділік заңы орындалады

5) Коллинеар векторлардың векторлық көбейтіндісі нөлге тең және керісінше, егер векторлық көбейтінді нөлге тең болса, онда векторлар коллинеар болғаны.

Мысал:   

 , себебі, 

Координаталарымен берілген екі вектордың векторлық көбейтіндісі.

   - векторларын қарастырамыз:

Коллинеар векторлардың векторлық көбейтіндісі нөлге тең болғандықтан

 

   

         

- Векторлардың көбейтінді сәйкес координаталары арқылы үшінші ретті анықтауыш түрінде өрнектеледі.

Мысал:   

а)   б) 

а)   

б) 

Векторлардың аралас көбейтіндісі және оның қасиеттері.

Аняқтама: Үш вектордың аралас көбейтіндісі деп алғашқы екі вектордың векторлық көбейтіндісін үшінші вектормен скалярлық көбейтіндісін айтады және былай белгіленеді:

.

1-қасиет: Үш вектордың аралас көбейтіндісінің сан мәні осы векторлардан тұрғызылған параллелепипедтің көлеміне тең:

Салдар:

 

 2-қасиет: Аралас көбейтіндіде ауыстырымдылық заңы орындалады.

.

3-қасиет: Кез келген вектордың тұрақты көбейткішін аралас көбейтінді таңбасының алдына шығаруға болады:

Мысал:         

Координаталарымен берілген векторлардың аралас көбейтіндісі:

     векторлары берілсін.

 Үш вектордың аралас көбейтіндісі осы векторлардың координаталарынан құралған үшінші ретті анықтауышқа тең.

Мысал: Төбелерінің координаталары берілген АВСД пирамиданың көлемін табыңдар. Үш вектор құрамыз:

       

   

 

Компланар векторлардың аралас көбейтіндісі нөлге тең.

 Үш вектордың компланарлығының шарты.

Мысал: А(1;2;-1); В(0;1;5); С(-1;2;1); Д(2;1;3) берілген нүктелердің бір жазықтықта жататынын көрсету керек.

А  

.

Демек, төрт нүкте бір жазықтықта жатады.

3 Лекция. Векторлардың скаляр көбейтіндісі, оның қасиеттері. Кеңістіктің бағытталынуы. Векторлардың векторлық көбейтіндісі, оның қасиеттері.

Анықтама: Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі деп осы векторлардың модульдері мен олардың арасындағы бұрышының косинусының көбейтінділерін айтады:  . (4)

 

А

 

О 

В 

 

1-қасиет. Скалярлық көбейтінді бір вектордың модулі мен екінші вектордың бірінші вектордағы проекциясына көбейтіндісіне тең, яғни

 (5)

2-қасиет. Екі вектор өзара перпендикуляр болғанда ғана олардың скалярлық көбейтіндісі нолге тең болады.

3-қасиет. Векторлардың скалярлық көбейтіндісінде ауыстырымдылық заңы орындалады. 

4-қасиет. Скалярлық көбейтіндіні бір   санына көбейту үшін көбейткіштердің біреуін ғана сол санға көбейтсе болғаны.

5-қасиет. Векторлардың скалярлық көбейтіндісінде үлестірімділік заңы орындалады. 

Координаталарымен берілген векторлардың скалярлық көбейтіндісі

 және   екі векторы берілсін.

Соңғы қасиет бойынша бұл векторларды мүшелеп көбейтуге болады.

i,j,k - бірлік векторлары өзара перпендикуляр, сондықтан олардың скаляр көбейтіндісі нолге тең.

   

 (6)

Екі вектордың скалярлық көбейтіндісі осы векторлардың аттас координаталары көбейтінділерінің қосындысына тең.

1-мысал.

 

2-мысал.

 

 Векторлардың скалярлық көбейтінділері жәрдемімен вектордың ұзындығының формуласын қорытып шығарамыз.

 

Екі вектордың перпендикулярлық шартын анықтайық.

 және  векторлары өзара перпендикуляр болсын, яғни  , онда скалярлық көбейтіндісі нолге тең:  . Сонда   (7)

Бұл екі вектордың перпендикулярлығының шарты.

 векторы мен бірлік   векторларының арасындағы бұрыштарды қарастырамыз. Ол бұрыштарды былай белгілейік:

;  ; 

 векторының кез келген бірлік векторға, мысалы i-ге, көбейтіндісін қарастырамыз: 

Бұдан (*) формуласы бойынша   бұрышының косинусын табамыз:

Осы тәсілмен қалған бұрыштардың косинусын табамыз:

;   (8)

Бұл косинустар   векторының бағыттаушы косинустары деп аталады. Бағыттаушы косинустардың квадраттарының қосындысы бірге тең:

Бұл формуланы дәлелдеу үшін (8) формуланы квадрат дәрежеге шығарамыз да қосамыз.

3-мысал.

 және   векторлары  -ның қандай мәнінде перпендикуляр болады. (7) перпендикулярлық шарты бойынша олардың скалярлық көбейтіндісін табамыз:

; 1*2-3*2-2*2=0;  =10.

4-мысал.

 және   векторлары берілсін делік.

 скалярлық көбейтіндісін есептеу керек.

 

-3  2

 

Екі вектордың ізделінді скаляр көбейтіндісін табайық.

Вектордың өзінің өзіне скалярлық көбейтіндісі оның ұзындығының квадратына тең болады: 

Вектордың бағыты.

,   векторлары берілсін. Осы векторлардың арасындағы бұрышты анықтау керек.

Скалярлық көбейтінді   формуласынан   (*) аламыз.

О-дік емес   және   векторлардың арасындағы бұрыштың косинусы осы векторлардың скалярлық көбейтіндісін, олардың ұзындықтарының көбейтіндісіне бөлгенге тең.

Ал вектордың координаттары берілсе, онда

 (**)

1-мысал.

;   векторларының арасындағы   бұрышын табу керек. (**) - формуласын пайдаланамыз.

Начало формы

;  =135⁰.

Конец формы

2-мысал.

 векторының  -орт векторының координаталарын табыңдар. 

1-мысал.

 және   векторларының арасындағы бұрыш   және  ;  .

; 

Шешу:

2-мысал.

 теңдігін қанағаттандыратын   векторлары берілген және

    ; 

Шешуі: