20 Сұрақ. Шаршы матрицаның анықтауышы. Анықтауыштың нөлге тең болу себептері.

Нақты сандардан құралған m жолы және n бағанасы бар тік бұрышты сандар кестесін A матрицасы деп атайды. Матрицаны белгілеу үшін дөнгелек не болмаса тік жақшаны қолданады, яғни

сандары матрицаның элементтері деп аталады. Егер m=n болса, яғни матрицаның жолдарының саны бағандарына тең болса, онда матрицаны n-ші ретті шаршы матрица деп атайды.

Анықтауыштың нөлге тең болу себептері:

1. Егер анықтауыштың кез-келген екі жолы өзара тең болса, онда ол нөлге тең болады.

2. Егер анықтауыштың қандай да болса бір жолының барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

3. Егер анықтауыштың екі жолының элементтері өзара пропорционал болса онда анықтауыш нөлге тең.

22 Сұрақ. Анықтауышты жол(баған) бойынша жіктеy туралы теорема. Оның сладары.

Теорема: Кез келген A=(α_ij), AϵM_nxn(P), n>2, матрицасы үшін оның анықтауышын 1-ші ж/е 2-ші жолдары арқылы келесі формула бойынша жіктеуге болады. detА= (-1)^1+2+i+k * A₁₂^ik. Мұндағы A₁₂^ik– А матрицасының 1-ші ж/е 2-ші жолдары мен ὶ-ші ж/е k-шы бағандары алынып тастағандағы n – 2 ретті матрицаның анықтауышы. Қосынды ὶ=1, n – 1, j=2, n, i<j, сандарынан құрылған барлық (i,j) реттелген жұптар бойынша жүргізіледі. |А|=α₁₁А₁¹ – α₁₂А₁² + ... + (-1)^{1+ n}α_1nА₁ⁿ = (-1)^{1+ j}α_1jA₁^j формуласы анықтауыштың 1-ші жолы бойынша жіктеу формуласы д.а. |А|= ж/е |А|= формулалары 3-ші ретті анықтауышты жолдар бойынша жіктеу формулалары. Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш шамасына тең: ∆= α_ijА_ik= α_i1А_i1+α_i2А_i2+ α_i3А_i3, ὶ=1,2,3; ∆= , бұл қосынды, анықтауыштың ὶ-ші жол элементтері бойынша жіктелуі, ал ∆= α_kА_ik= α_1kА_1k+α_2kА_2k+ α_3kА_3k, k=1,2,3 мына қосынды, анықтауыштың k-ші баған элесенттері бойынша жіктелуі д.а.

1-теорема. Әрбір n-ші ретті анықтауыш кез келген жатық жолдары н/е тік жолдары элементтерін олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқан қосындыға тең, яғни D = = α_i1A_i1+ α_i2A_i2+…+ α_in A _{i n} . Дәлелдеу. D анықтауышын мына түрде жазамыз: D = . Анықтауыштың 7-қасиеті негізінде бұл анықтауышты жіктеп былай жазамыз: D = . 1-теорема бойынша D = α_i1A_i1+ α_i2A_i2+…+ α_in A _{i n} теңдігін шығарып аламыз. Сонымен, n-ші ретті әрбір анықтауыштың жатық жолы н/е тік жолы элементтері бойынша жіктелу мүмкіндігін дәлелдеп алдық.

23 Сұрақ. Лаплас теоремасы және оның салдары.

1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын сəкес тік жолдарымен алмастырғаннан, яғни транспонерлегеннен,

анықтауыш мəні өзгермейді.

2-қасиет. Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады.

3-қасиет. Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғаннан анықтауыш таңбасы қарама қарсы таңбаға өзгереді.

4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мəні нолге тең.

5-қасиет. Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға қосқаннан анықтауыш мəні өзгермейді.

6-қасиет. Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең