1.Жиындар және оларға қолданылатын амалдар. Функциялар және олардың түрлері 2-3 бет

2.Қатынастар n орынды қатынас.Арнайы бинарлық қатынастар 3 бет

3.Эквивалнттік қатынас.Бөліктеу туралы теорема 3 бет

4.Комплекс сандар өрісі.Комплекс сандарға амалдар қолдану.Комплекс сандардың алгебралық түрі 4бет

5. Комплекс сандардың тригонометриялық түрі. Тригонометрия түрдегі сандардан комплекс сандарды көбейту, бқлу және дәрежеге шығару 4. 5бет

6. Тригонометрия түрдегі сандардан комплекс сандардан түбір табу. 1-дің түбірлері және олардың қасиеттері 5 бет

7.Көпмүшеліктер сақинасы. Көпмүшеліктерге амалдар қолдану.Қалдықпен бөлу туралы теорема. 5 бет

8.Көпмүшелікті екі мүшелікке бөлу.ЕҮОБ және ЕКОЕ.Евклид алгоритмі. ЕҮОБ-тің сызықты өрнектелуі 5.7 бет

9.Көпмүшелікті екімүшелікке бөлу.Горнер схемасы.Көпмүшелік түбірлері.Безу теоремасы 7 бет

10. Көпмүшелік түбірлерінің еселігі туралы теорема 7 бет

11.Берілген өрісте келтірілмейтін көпмүшеліктер.Комплекс сандар алгебрасының негізігі теоремасы және оның салдарлары 8 бет

12.Нақты сандар өрісінде келтірілмейтін көпмүшелік дәрежесі туралы теорема 8 бет

13.Бүтін коэффицентті көпмүшеліктердің рационал түбірлері туралы теорема 8 бет

14.Векторлық кеңістік.Ішкі кеңістік. Векторлар жүйесінің сызықты қабықшасы. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелділігі мен сызықты тәуелсіздігі 8 . 9 бет

15. Векторлар жүйесінің базисі мен рангі. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелді болуының белгілері. 9 бет

16. Векторлар жүйесінің сызықты тәуелді және тәуелсіз болуының қажетті және жеткілікті шарттары 9 10 бет

17.Матрицалар және олар,а амалдар қолдану 10 11 бет

18.Элементар түрлендіруді матрицаны сатылы түрге келтіру.Матрицаның рангі 11 12 бет

19.САТЖ және оның шешімдері.САТЖ-ның үйлесімділік белгісі 12 13 бет

20.Шаршы матрицаның анықтауышы.Анықтауыштың 0-ге тең болу белгілері.13 бет

21. Анықтауышқа элементар түрлендірулер қолданғанда оның өзгеруі туралы қасиеттер

22.Анықтауышты жол баған бойынша жіктеу туралы теорема. Анықтауышты жол баған бойынша жіктеу туралы теореманың салдары 14 бет

23.Лапалс теоремасы және оның салдары 15 бет

24.Кері матрицаны анықтауыштар арқылы есептеу формуласы.Крамер формуласы 16 бет

25.Шаршы матрицаларлың көбейтіндісінің анықтауышы

26.Векторлар және оларға қоладнылатын амалдар.Қасиеттері.Колиенар және компланар вектоорлар 19-20 бет

27.Түзудегі 2 вектордың және жазықтықтағы 3 вектордың сзықты тәуелдәләгә туралы теорема

28.Кеңістіктегі 4 вектордың сызықты тәуелділігі туралы теорема 21-22 бет

29.Векторлардың скаляр көбнйтіндісі және оныңгеометриялық мағынасы 22-23 бет

30.Базис ұғымы. Вектордың коордтъинаттары.Аффиндік координаттар жүйесі.Радиус- вектор.Нүктенің координатасы 24-26 бет

31.Екі нүктенің ара қашықтығы.Вектордың ұзыныдғы 26-27 бет

32.Векторлық көбейтінді және оның геометриялық мағынасы 27-32 бет

33Араслас көбейтінді және оның геометриялық мағынасы 32-34бет

34.Жазықтағы түзудің теңдеулері 34 бет

35.Түзудің жалпы теңдеуі бойынша зерттеу 34-35 бет

36.Түзудің нормаланған теңдеуі 36 бет

37.Екі түзудің өзара орналасуы.Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық 36-37 бет

38.Түзудің нормал және бағыттаушы векторлары арқылы түзудің арасындағы бұрыштың косинусынтабу формулалары 37 бет

39.Элипс және оның элементтері 37 бет

40.Гипербола және оның элементтері 37-39 бет

41.Парабола және оның элементтері 38-39 бет

42.Полярлық және цилиндрлік координаталар жүйелері. 40-41 бет

43.Сфералық координаталар жүйелері.

44.2-ші ретті қисықтардың полярлық теңдеулері 42 бет

1 Сұрақ. Жиындар және оларға қолданатын амалдар. Функциялар(бейнелеулер) және олардың түрлері.

Жиын ұғымы. Белгілі бір ортақ қасиеттерге ие болып, белгілі бір заңдылықпен біріккен нәрселер, объектілер жиын құрайды. Мысалы: аспандағы жұлдыздар жиыны,кітап бетіндегі әріптер жиыны, бөлімі 6 саны болатын дұрыс бөлшектер жиыны т.с. Жиындар элементтерден құралады. Жиындардың элементтері аталып беріледі немесе сол жиын элементтеріне ғана тән қасиет (белгі) көрсетіледі. Жиынды латынның бас әрпімен белгілеп, оның элементтерін фигуралық жақшаның ішіне алып жазу келісілген. Мысалы, “планета” сөзіндегі әріптер жиынын P әрпімен белгілесек, P={а,п,н,л,е,т} немесе P={т,п,н,л,е,а} элементтер ретін әр-түрлі жазуға болады. Жиындар шектеулі жиын, шектеусіз жиын болып бөлінеді. Мысалы, цифрлар жиыны A – шектеулі жиын, оған 10 элемент енеді A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} жиынының элементтер санын көрсетіп жазсақ: n(A)=10.Ал натурал сандар жиыны N - шектеусіз жиын. Егер a элементі B жиынына тиісті болса, оның жазылуы: a Є B. Оқылуы: “a B жиынының элементі” немесе “a B жиынына тиісті”. Мысалы, 7 саны натурал сандар жиынына тиісті: 7 Є N. Егер c элементі A жиынына тиісті болмаса, оның жазылуы: c ¢ A. Оқылуы:”c элементі A жиынына тиісті емес”. Мысалы, 0 саны натурал сандар жиынына тиісті емес: 0 ¢ N. Егер жиында бірде-бір элемент болмаса, оны бос жиын деп атайды. Бос жиынның белгіленуі: Ø. Мысалы, 74 және 79 сандарының арасындағы жай сандар жиыны - бос жиын. Әріптер жазылмаған дәптер бетіндегі әріптер жиыны - бос жиын. Егер B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті болса, онда B жиыны A жиынының ішкі жиыны деп аталады. Мысалы, A={1,2,3,4,5,6,7} жиынындағы жұп сандар жиыны – B={2,4,6}. B жиынының әрбір элементі A жиынына тиісті. Белгіленуі: B Є A. Оқылуы: B жиыны – A жиынының ішкі жиыны. Жиындардың байланыстары мен арақатынастары Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы кескінделеді. Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Белгіленуі: Ø Є A. Мұндағы A - қандай да бір жиын. Егер екі жиын бірдей элементтерден тұрса, онда олар тең жиындар деп аталады. Мысалы, A={a,b,c}; B={c,a,b}, онда A=B. Оқылуы: A жиыны B жиынына тең. Жиындарға қолданылатын амалдар. Жиындар арасындағы байланыстар - жиындарға қолданылатын төмендегі амалдарды анықтайды. Егер А жиынының барлық элементтері B жиынына тиісті болса, онда А жиынын B жиынының ішкі жиыны деп атаймыз. Ал B жиыны А жиынын қамтушы жиын деп аталады. Жиындар арасындағы бұл қатынас А В белгісімен көрсетіледі. Оны символдық түрде жазар болсақ, А В кез келген x A үшін x B. Еш6ір элементі болмайтын жиынды бос жиын деп атаймыз. - бос жиын белгісі. Анықтауымыз бойынша кез келген X жиыны үшін X. Егер A B және B A қатынастары орындалса, бұл жиындардың бірінің элементтері екіншісіне тиісті, ендеше ол жиындар тең болады. Тең жиындарды A=B арқылы таңбалайды. Егер A B және A B болса, A жиынын B жиынының меншікті ішкі жиыны деп атаймыз. Бұл қатынас A B арқылы белгіленеді. А және В жиындарына ортақ элементтерден ғана тұратын жиынды А және В жиындарының қиылысуы деп атап, ол жиынды А В арқылы белгілейміз. Белгілеуі: А В={ x :| х А және х В). Егер А В = 0 болса, онда А және В жиындарын қиылыспайтын жиындар деп атаймыз. Келтірілген суреттің боялған бөлігi А және В жиындарының қиылысуынан пайда болған жиынды білдіреді. Жиындар арасындағы байланысты осы жолмен кескіндеу: Эйлер-Венн диаграммасы деп аталады. А және В жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден тұратын жиынды - А және В жиындарының бірігуі деп атаймыз. Оны А В таңбасы арқылы белгілейміз. Сонымен А В ={ x : х А немесе х В}. Ендеше А және В жиындары А В жиынының ішкі жиындары болады, яғни А А В және В А В қатынастары орындалады. Бұл суреттің боялған бөлігі А және В жиындарының бірігуінен пайда болған жиынды білдіреді. Диаграммадан кез келген екі жиынның бірігуі, әр жиынды толық қамтитынын көреміз.

А жиынына тиісті, ал В жиынына тиісті емес элементтерден тұратын жиын А жиыны мен В жиынының айырмасы ( А минус В ) деп аталып, А\В арқылы белгіленеді. Белгілеуі: А\В={х : х А және х В). Ал А жиынына тиісті емес және А жиынын қамтушы қандай да бір жиынның элементтерінен тұратын жиынды А жиынының аталған қамтушы жиындағы толықтаушы жиыны деп атаймыз. Белгілеуі: A. Бұл суреттегі боялған бөлік,жиынының толықтаушы жиыны - A жиынын білдіреді. Осындай диаграммалық әдіспен A\B және B\A жиындарын да кескіндеуге болады.

Бейнелеу жəне оның түрлері. Екi жиын элементтерiнiң өзара байланысынан өзге, шартты түрде айтқанда, осы жиындардың элементтерiнiң сандарын салыстыратын функция (бейнелеу деп те аталады) ұғымын енгiзейiк. Анықтама. А жəне В жиындары берiлсiн. Егер А жəне В жиындарының арасындағы f сəйкестiгi бойынша А жиынының əрбiр элементiне В жиынының бiр ғана элементi сəйкес қойылса, f сəйкестiгiн А жиынынан В жиынына бейнелеу деп атаймыз. Белгiлеуi: f: A→B. Егер b В элементi f бейнелеуi бойынша а А элементiнiң бейнесi болса, оны f(a)= b теңдiгi арқылы жазамыз. Мұндағы а элементi b элементiнiң f бейнелеуі бойынша алғашқы бейнесi, ал b элементi а элементiнiң бейнесi деп аталады. В жиынының алғашқы бейнесі бар элементтерінен тұратын ішкі жиынын Imf =f(A)={y : y B үшiн f(x) = у болатындай x А табылады}арқылы белгiлеймiз. Бұл жиынды f бейнелеуi бойынша А жиынының В жиынындағы бейнесi деп атаймыз. Ендi бейнелеулердiң арнайы түрлерiне тоқталайық. Анықтама. А жəне В жиындары берiлсiн. Егер f: A→B бейнелеуi үшiн Imf В жиынының кез келген элементiнiң бiр ғана алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген x₁, A элементтерi үшiн (*) f(x₁) = f(x₂) теңдігінен x₁ = x₂ болатыны шығады. Егер (*) шарты орындалса, онда f бейнелеуiн əрмəнді (инъективтi) бейнелеудеп атаймыз.

Анықтама. Егер f: A→B бейнелеуi кезiнде В жиынының əрбiр элементiнiң алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген b В үшiн а А табылып, f(a) = b теңдiгi орындалса, онда f бейнелеуiн А жиынының В жиынына тұтас (съюрективтi) бейнелеу деп атаймыз.

Анықтама. Егер f: A→B бейнелеуi əрмəнді жəне тұтас бейнелеу болса, онда f бейнелеуi бірге-бір сəйкестiк ( биекция ) немесе бірге-бір бейнелеу деп аталады. Сонымен, қысқарта жазсақ, f – бірге-бір бейнелеу болады сонда тек сонда ғана, егер 1) x,y A үшiн f ( x) = f ( y)=>x = y 2) y B үшiн f(x) = y шарты орындалатындай x A табылады. Кез келген a A үшiн 1_А(a)=a теңдiгi орындалатын 1_А:A→A функциясы бiрлiк функция деп аталады. Егер f: A→B жəне g : B→C бейнелеулері үшін h : A→C сəйкестігін a A үшін h(a) = g( f (a)) шартымен анықтасақ, бұл сəйкестік бейнелеу болады жəне оны f жəне g бейнелеулерінің композициясы ( бернесі ) деп айтамыз.

Белгілеуі: h = g f . Егер f: A→B бейнелеуі үшін g : B→A бейнелеуі табылып, g f = f g теңдігі орындалса, яғни кез келген a A үшін g f (a) = f g(a) болса, онда g : B→A бейнелеуі f бейнелеуіне кері бейнелеу деп аталып, ол f ^-1 түрінде белгіленеді.

Қасиеттері.

1. Əрбір f биекциясына кері бейнелеу табылады жəне f^-1 f = f f^-1 = 1_А 2. Бейнелеулердің композициясы терімділік заңына бағынады, яғни кез келген f: A→B, g : B→C жəне h :C→D бейнелеулері үшін f (g h) = ( f g) h .

3. Егер f: A→B иньективті бейнелеу болса, онда f: A→Im f бейнелеуі биекция болады.