0,15 0,3 0,25 0,2 0,1 0,05 0 Ущерб 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Ущерб б а

Рис. 4.14. Типичный вид простой зависимости «вероятность–ущерб»:

А – для отдельных событий;

Б – для убытков, суммированных в течение финансового года

На рис. 4.14 Б показана функция распределения характерная для убытков в течение финансового года. Диаграмма строится следующим образом:

• горизонтальная ось делится на равные интервалы;

• группируются все события с размерами убытков, попадающими в выделенный интервал на горизонтальной оси

• подсчитывается общее количество случаев убытков для данного интервала и нормируется на общее-число случаев убытков в течение финансового года.

На рис. 4.14 Б видно, что по сравнению с рис. 4.14 А вероятность маленьких убытков уменьшилась. На диаграмме появился максимум, соответствующий наиболее вероятному значению убытка.

Диаграммы, показанные на рисунке, обнаруживают свойства, характерных для распределений ущербов: дискретность и неполноту данных. Здесь мы сталкиваемся с наличием репрезентативной статистики для проведения анализа риска.

Для каждой дискретной зависимости «вероятность–ущерб», полученной опытным путем, может быть подобрана непрерывная функция распределения, выраженная в простой и интегральной форме. Удобнее использовать интегральную форму, поскольку она менее критична к возможным ошибкам и пропускам в данных.

На рис. 4.15 показана зависимость «вероятность–ущерб», представленная в интегральной форме

1

0,9

0,8

0,7

0,5

0,6

0,4

0,3

0,2

0,1

0

Ущерб

Рис. 4.14. Интегральная зависимость «вероятность–ущерб» и её аппроксимация нормальной функцией распределения

Далее, встает вопрос о выборе вида функции, аппроксимирующей эмпирическую зависимость. Для рядов данных по различным типам ущерба чаще всего используются три, вида функций: нормальная (или гауссовская), экспоненциальная (больцмановская) и самоподобная (функция Парето).

Наиболее часто используемой функцией является гауссовское или нормальное распределение. В каноническом виде нормальное распределение случайной величины х записывается следующим образом:

,

где а, – параметры распределения;

х — размер ущерба;

f(x) – плотность распределения вероятности ущерба х.

Интегральная функция распределения определяется следую­щим образом:

где f(х) – функция плотности распределения вероятности.

На рис. 4.15 показана также аппроксимация дискретной зависимости «вероятность—ущерб», построенной в интегральной форме, нормальной функцией распределения.

Другим типом распределения вероятности ущерба, часто встречающимся в теории природных и техногенных процессов, является распределение Больцмана (экспоненциальное), которое имеет следующий вид:

f(x) =

0. при х  0

где  - интенсивность потока ущерба.

Интегральная функция распределения вероятности Парето имеет следующий вид:

.

Третьим, характерным в основном для природных рисков, физическим распределением является распределение Парето (или самоподобпое распределение). Функция плотности вероятности распределения ущерба при этом убывает по степенному закону:

f(x) =

0. при х  1

Интегральная функция распределения вероятности Парето имеет следующий вид:

f(x) =

0 при х  1

Большинство рисков возникает как результат действия большого числа независимых случайных факторов и поэтому может быть описано нормальным распределением. Данному условию удовлетворяют отказы и аварии технических систем, потери на финансовом рынке, риски ущерба жизни и здоровью и др.

Самоподобное распределение характерно для большинства природных катастроф, таких, как землетрясения и наводнения Больцмановское распределение является промежуточным типом между предыдущими двумя.