9. Шкали різниць

До числа шкал, єдиних з точністю до лінійних перетворень, відноситься шкала інтервалів (у = ах+b, a>0 та b довільні) та шкала відношень (y = ах, a>0 - перетворення розтягування). Розглянемо особливості шкал, інваріантних до зсуву: y =х + b.

Повторно застосовуючи зсув до y (z = y + b = z + 2b), далі до z і т.д., виявляємо, що в такій шкалі значення не змінюється при довільному числі зсувів: y = x + nb, n = 0,1,2,…Постійна b являється характерним параметром шкали і називається її періодом. Отриману шкалу називають шкалою різниць (іноді її називають циклічною або періодичною). У таких шкалах вимірюється напрям із однієї точки (шкала компасу, роза вітрів), час доби (циферблат годинника), фаза коливань (у градусах чи у радіанах).

Циклічні шкали являються частковим випадком інтервальних шкал. Однак угода про хоча і довільний, проте єдиний початок підрахунку шкали дозволяє використовувати покази у цій шкалі як числа, застосовувати до них арифметичні дії (до тих пір, поки хто-небудь не забуде про умовність нуля, наприклад при переході на літній час або навпаки).

10. Абсолютна шкала

Розглянемо таку шкалу, яка має і абсолютний нуль, і абсолютну одиницю. Ця шкала не єдина з точністю до деякого перетворення, а просто єдина, унікальна. Саме такими якостями володіє числова вісь, яку істотно назвати абсолютною шкалою. Важливою особливістю абсолютної шкали порівняно із усіма іншими є її безрозмірність та абсолютність її одиниці. Вказана особливість дозволяє виконувати над показами абсолютної шкали у явній формі такі операції, що недопустимі для показів інших шкал, - вживати ці покази у якості показника степеня та аргументу логарифма. Числова вісь використовується як вимірювальна шкала у явній формі при підрахунку предметів, а як допоміжний засіб присутня у всіх інших шкалах.

Підсумкова таблиця вимірювальних шкал

Назва шкали	Визначальні відношення	Еквівалентне Перетворення шкал	Допустимі операції над даними (первинне оброблення	Вторинне оброблення даних
Номінальна	Еквівалентність	Перестановки найменувань	Обчислення символу Кронекера δij	Обчислення відносних частот та операцій над ними
Порядкова	Еквівалентність; перевага	Не змінюючи порядку (монотонне)	Обчислення δij та рангів Ri	Обчислення відносних частот та вибіркових квантилей, операції над ними
Інтервальна	Еквівалентність; перевага; зберігання відношення інтервалів	Лінійне перетворення y = ax+b, a > 0	Обчислення δij , рангів Ri та інтервалів (різниць між спостереженнями)	Арифметичні дії над інтервалами
Циклічна	Еквівалентність; перевага; зберігання відношення інтервалів; періодичність	Зсув y = x+nb, b – const, n = 0,1,2,…	Теж, що і для інтервальної шкали	Теж, що й для інтервальної шкали
Відношень	Еквівалентність; перевага; зберігання відношення інтервалів; зберігання відношень двох значень	Розтягування y = ax, a > 0	Усі арифметичні операції	Довільне необхідне оброблення
Абсолютна	Еквівалентність; перевага; зберігання відношення інтервалів; зберігання відношень двох значень; абсолютна та безрозмірна одиниця; абсолютний нуль	Шкала унікальна	Усі арифметичні операції; використання у якості показника степеня, основи та аргументу логарифму	Довільне необхідне оброблення