3. Пошук альтернативи із заданими властивостями

Третій спосіб багатокритеріального вибору полягає у падку, коли зараннє можуть бути вказані значення часткових критеріїв (або їх межі), і задача полягає узнаходженні альтернативи, що задовольняє цим вимогам, або, встановивши, що така альтернатива на множині відсутня, знайти альтернативу, що підходить до поставлених цілей найближче. Характеристики розв’язку такої задачі (складність процесу обчислень, швидкість збіжності, кінцева точність тощо) залежать від багатьох факторів.

Зручною властивістю є можливість задавати бажані значення критеріїв як точно, так й у вигляді верхніх або нижніх меж; значення величин , що назначаються, інколи називають рівнями претензій, а точку їх пересічення у р-вимірному просторі критеріїв – метою або опорною точкою. Оскільки рівні претензій задаються без точного знання структури множини у просторі часткових критеріїв, точка мети може виявитися як уередині, так й зовні (досяжна чи недосяжна мета) (Рис. 19. в).

Ідея оптимізації полягає утому, щоби, почавши з довільної альтернативи, наближуватися до x^* по деякій траєкторії у просторі Х. Це досягається введенням числової міри близькості між черговою альтернативою x та ціллю x₃^*, тобто між векторами q(x) = (q(x),…,q(x)) та . Наприклад, використовують відстані типу

d_k(q, ) = ( W_i|q_i(x) - |^k)^1/k , (9)

або типу

S(q, ) = α_i(q_{i -} ) + α_p+1 α_i(q_i - ), (10)

де вважається, що q_i ≥ , α_i - коефіцієнти, що приводять доданки до однакової розмірності та одночасно враховують різну важливість критеріїв. α_p+1 виражає відношення до того, що важливіше – зменшувати близькість до цілі довільного із часткових критеріїв або сумарну близькість всіх критеріїв до цільових значень. Якщо частина рівнів претензій обмежують критерії знизу (q_i ≥ , i = ( )), частина обмежують їх зверху (q_i ≤ , i = p′+1,…,p^″), а решта задають їх жорстко (q_i = , i = p′ + 1,…,p), то функцію (10) модифікують:

S(q, ) = Z(q_i, )+ α_p+1 Z(q_i - ), (11)

де Z(q_i - ) = .

Можливі й інші міри близькості, проте для функцій (9) та (10) наведені докладні дослідження їх математичних властивостей, що важливо для забезпечення збіжності процесу мінімізації цих функцій, у ході якого забезпечується наближення до x^*.

4. Знаходження множини Парето

Четвертий спосіб багатокритеріального вибору, що повністю формалізується, полягає у відмові від виділення єдиної „найкращої” альтернативи та погодження із тим, що перевага одній альтернативи над другою може віддаватися тільки тоді, коли перша по усім критеріям краще другої. Якщо ж перевага хоча б по одному критерію розходиться із перевагою по другому, то такі альтернативи признаються непорівнянними. У результаті попарного порівняння альтернатив всі гірші по всім критеріям альтернативи відкидаються, а решта, що залишилися, непорівнянні між собою (не домінуючі), приймаються. Якщо всі максимально досяжні значення часткових критеріїв не відносяться до однієї й тієї ж альтернативи, то прийняті альтернативи створюють множину Парето (Парето (Pareto) Вильфредо (1848 – 1923) італійський економіст та соціолог, один із засновників функціоналізму) і вибір на цьому закінчується. На Рис.19 г) жирною лінією виділено множину Парето для даного прикладу. При необхідності ж вибору єдиної альтернативи залучають додаткові міркування: вводять нові, додаткові критерії та обмеження, кидають жеребок, звертаються до експертів.