Тема 5. Статистические методы оценивания параметров распределений, проверки гипотез и исследования зависимостей.

5.1 Точечные оценки.

Одной из основных задач математической статистики является оценка неизвестных параметров, характеризующих распределение генеральной совокупности . Совокупность независимых случайных величин , каждая из которых имеет то же распределение, что и случайная величина называют случайной выборкой объёма из генеральной совокупности и обозначают . Любую функцию случайной выборки называют статистикой.

Если функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до параметра , то его точечной оценкой называют статистику , значение которой на данной выборке принимают за приближённое значение неизвестного параметра : .

Чтобы точечные оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям. «Хорошей» считается оценка, обладающая свойствами состоятельности, несмещённости и эффективности. Оценка называется: 1) состоятельной оценкой параметра , если при неограниченном увеличении объёма выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. ; 2) несмещённой (оценкой без систематических ошибок), если её математическое ожидание при любом равно оцениваемому параметру, т.е. ; 3) эффективной (в некотором классе несмещённых оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе.

Пусть распределение генеральной совокупности известно с точностью до вектора параметров и требуется найти значение его оценки по выборке .

Оценкой метода моментов вектора параметров называют статистику значение которой для любой выборки удовлетворяет системе уравнений:

, ,

где - теоретические начальные моменты -го порядка случайной величины , - эмпирические начальные моменты -го порядка выборки . В систему уравнений метода моментов могут входить и уравнения вида , где - теоретические центральные моменты -го порядка случайной величины , эмпирические центральные моменты -го порядка выборки . Часто для нахождения значения оценки одного параметра используют первый начальный момент. Для нахождения значений оценок двух

параметров используют первый начальный и второй центральный моменты.

Оценкой метода максимального правдоподобия вектора параметров называют статистику , значение которой для любой выборки удовлетворяет условию: , где - функция правдоподобия выборки , - множество всех возможных значений вектора параметров .

Функция правдоподобия имеет вид:

1) - для дискретной случайной величины ;

2) - для непрерывной случайной величины .

Если функция дифференцируема как функция аргумента для любой выборки и максимум достигается во внутренней точке , то значение точечной оценки максимального правдоподобия находят, решая систему уравнений максимального правдоподобия: , . Нахождение упрощается, если максимизировать не саму функцию правдоподобия, а её логарифм , так как при логарифмировании точки экстремума остаются теми же, а уравнения, как правило, упрощаются и записываются в виде: , .