Тема 2. Случайные величины. Системы случайных величин.

2.1 Одномерные случайные величины.

Под случайной величиной понимают величину, принимающую свои возможные значения в зависимости от исхода эксперимента, с которым она связана.

Законом распределения (вероятностей) случайной величины называют любое правило, позволяющее найти вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого подмножества своих возможных значений. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины называется функция действительной переменной , , определяемая формулой .

Каждая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) , ; 2) не убывает;

3) , ; 4) непрерывна слева.

Любая неубывающая непрерывная слева действительная функция , удовлетворяющая условиям и , является функцией распределения некоторой случайной величины.

Вероятность события определяется формулой:

.

Случайная величина называется дискретной случайной величиной (ДСВ), если множество её возможных значений конечно или счётно, причём , , где суммирование распространяется на все возможные значения . Функция распределения в этом случае имеет ступенчатый вид и задаётся формулой , где суммирование распространяется на все значения индекса , для которых .

Закон распределения ДСВ удобно задавать рядом распределения. Рядом распределения ДСВ называют таблицу, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины и соответствующие им вероятности . Для наглядности закон распределения ДСВ изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число , если ряд сходится абсолютно.

Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число . Число называется средним квадратичным отклонением.

Дисперсию дискретной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Пусть -постоянная величина. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины обладают следующими свойствами:

Свойства математического ожидания: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если и независимы.

Свойства дисперсии: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) , если и независимы.

Случайная величина называется (абсолютно) непрерывной случайной величиной (НСВ), если её функция распределения представляется в виде , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности (распределения) вероятностей. Множество возможных значений непрерывной случайной величины несчётно и обычно представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой прямой.

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной неубывающей функцией на всей числовой прямой, причём вероятность попадания в любую фиксированную точку равна нулю: , .

Функция является плотностью вероятностей некоторой НСВ , тогда и только тогда, когда: 1) ; 2) .

Плотность вероятностей в точках, где дифференцируема, определяется равенством: . В точках, где не дифференцируема, плотность вероятностей , определяется произвольным образом, чаще всего по непрерывности слева или справа.

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей :

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число , если интеграл сходится абсолютно.

Дисперсию непрерывной случайной величины вычисляют по формулам:

или .

Медианой непрерывной случайной величины называется число , удовлетворяющее условию или .

Начальным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Центральным моментом -го порядка ( ) распределения случайной величины (если он существует) называется число .

Для непрерывной случайной величины начальные и центральные моменты вычисляют по формулам: , .