1.2 Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Всякое
случайное событие
можно рассматривать как подмножество
(обратное утверждение, вообще говоря,
места не имеет), состоящее из всех тех
,
которые благоприятствуют событию
(
).
Множество
называют достоверным
событием,
а пустое множество
,
являющееся по определению подмножеством
,
называют невозможным
событием.
Если
,
то говорят, что событие
влечёт событие
.
Произведением
событий
и
называют событие
,
происходящее тогда и только тогда, когда
происходят одновременно оба события
и
.
События
и
называют несовместными,
если
.
Суммой
событий
и
называют событие
,
происходящее тогда и только тогда, когда
происходит хотя бы одно из событий
или
.
Разностью
событий
и
называют событие
,
происходящее тогда и только тогда, когда
происходит событие
,
но не происходит событие
.
Событие
,
происходящее тогда и только тогда, когда
событие
не происходит, называют противоположным
событию
.
Разность событий
всегда можно представить в виде
.
Из определений вероятности следуют следующие её свойства:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
Если
,
то
;
5)
;
6)
.
Пусть
и
- наблюдаемые события в эксперименте,
причём
.
Условной
вероятностью
осуществления события
при условии, что событие
произошло в результате данного
эксперимента, называется величина,
определяемая равенством:
.
События
и
,
имеющие ненулевую вероятность, называются
независимыми,
если выполняется равенство
или
,
в противном случае события
и
называются зависимыми.
Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.
Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:
1) , ;
2) (для независимых событий)
и формул сложения вероятностей:
3) ;
4) (для несовместных событий).
Пусть
-
наблюдаемые события для данного
эксперимента, попарно несовместные (
при
)
и образующие полную группу событий (
).
Такие события
принято называть гипотезами
по отношению
к событию
.
Тогда для любого наблюдаемого в
эксперименте события
имеет место
формула
полной вероятности:
, где .
Пусть
- совокупность гипотез по отношению к
событию
,
безусловные вероятности которых
,
называемые априорными
(доопытными),
известны и пусть стало известно, что в
результате эксперимента событие
произошло. Тогда апостериорные
(послеопытные)
вероятности
гипотез
при условии, что событие
имело место, вычисляются по формуле
Байеса:
, где .
Формула Байеса позволяет переоценить вероятность каждой из гипотез после поступления дополнительной информации относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.
1.3 Схема Бернулли. Формула Бернулли.
Схемой Бернулли называют последовательность испытаний, удовлетворяющую условиям: 1) результатом каждого испытания является один из двух возможных исходов: «успех» (появление некоторого события ) и «неудача»; 2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность «успеха» в каждом следующем испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний; 3) вероятность «успеха» во всех испытаниях одинакова и равна .
Вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли произойдёт ровно «успехов», определяется формулой Бернулли:
, .
Следствиями формулы Бернулли являются формулы:
1)
- вероятность того, что в
испытаниях по схеме Бернулли «успех»
наступит не более
раз и не менее
раз;
2) - вероятность того, что в испытаниях по схеме Бернулли «успех» наступит хотя бы один раз.