15. Бір өлшемді потенциалдық шұңқырдағы бөлшек.

Б ір өлшемді потенциалдық шұңқыр ішіндегі электрон үшін Шредингер теңдеуінің шешімін қарастыралық. Мұндай жағдай өте қарапайым, әрі жасанды. Дегенмен, ол Шредингер теңдеуінің және оның шешімдерінің негізгі ерекшеліктерін жеткілікті түрде оңай көрсетуге мүмкіндік береді.

Шексіз терең бір өлшемді потенциалдық шұңқырдағы бөлшек үшін меншікті энергия мәндері мен бұларға сәйкес меншікті функцияларды табайық. Массасы m бөлшек (электрон) тек х осі бойымен қозғала алатын болсын; және қозғалыс бөлшекті өткізбейтін x=0 және x= қабырғаларымен шектелген болсын. Осы жағдайда U потенциалдық энергияның түрі 6.1-суретте көрсетілгендей: 0x болғанда U=0, x<0 және x> болғанда U= болады.

Ш ұңқыр ішінде U=0 болатындықтан Шредингер теңдеуі осы жағдайда былай жазылады:

. (1)

өрнегін ескеріп, бөлшек энергиясының мәнін табамыз:

. (2)

Демек, Е энергия дискреттік мәндер жиынтығын қабылдайды.

( 2) өрнек қарастырылған потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясын анықтайды. Шұңқыр ішінде бөлшектің потенциалдық энергиясы болмайтындықтан, толық энергия кинетикалық энергияға тең болады.

Шредингер теңдеуінің толық шешімі мына түрде өрнектеледі:

... (3)

 кесіндісінің әр түрлі dx бөліктерінде бөлшектің болу ықтималдығы былай анықталады:

.

6.3-суретте нормаланған ₁, ₂, ₃ толқындық функциялар және ₁², ₂², ₃² ықтималдық тығыздықтары бейнеленген.

Сызықтық гармоникалық осциллятор

Сызықтық гармоникалық осциллятордың кванттық қозғалысы қарастырылады.

Массасы m бөлшек х осі бойында бөлшектің тепе-теңдік қалыптан ауытқуына тура пропорционал F=-kx квазисерпімді күш әсерінен қозғалатын болсын. Мұндағы k – серпімділік коэффициенті. Осындай бөлшек сызықтық гармоникалық осциллятор деп аталады.

Кванттық механикада сызықтық гармоникалық осциллятордың тербелістері жайындағы есеп Шредингер теңдеуі жәрдемімен шешілуге тиіс. Осциллятор үшін Шредингер теңдеуі былайша жазылады:

, (6.4)

мұндағы Е – осцилятордың толық энергиясы.

Е параметрі мына мәндерді

(6.5)

қабылдағанда (6.4) теңдеуінің шектеулі, бір мәнді және үздіксіз шешімдері болатындығы дифференциалдық теңдеулер теориясында дәлелденген.

Гармоникалық осциллятордың энергия деңгейлері бірінен-бірі бірдей қашықтықта орналасқан.

16. Бір электрондық атомдық жүйелер үшін Шредингер теңдеуі және атомның квантталуы

Сутегі атомы және сутегі тәрізді иондардың меншікті функциялары, энергетикалық спектрі және әр түрлі күйлердегі электрондық тығыздықтың үлестірілуі, сәуле спектрі қарастырылады.

Атомдық физика үшін U(x) потенциалдық функция бір өлшемді болған жағдай емес, қайсыбір күш орталығына қатысты сфералық симметриялы болатын жағдай маңыздырақ.

Электронның орталық-симметриялық өрісте қозғалысын қара-пайым атомдық жүйелерде кездестіруге болады. Қарапайым атомдық жүйе-лерге сутегі атомы және сутегі тәрізді иондар мен атомдар жатады. Бұл жүйелерде ядро өрісінде тек жалғыз электрон болады. Сутегі тәрізді иондарға, мысалы, зарядтық саны Z=2, бір рет иондалған Не⁺ гелий атомы, екі рет иондалған Lі⁺⁺ литий атомы (Z=3) және т.б. жатады. Қарапайым атомдық жүйелерге сілтілік металл (Lі, Na, K, т.т) атомдары да жатады; бұларда толған сфералық симметриялық электрондық қабықтан тыс бір валенттік электрон болады.

Шредингер теңдеуі. Енді сутегі ядросының кулондық өрісінде электронның күйі жайындағы квантмеханикалық есепті шығаруға көшейік. Заряды Ze ядроны координаттар жүйесінің басы деп қабылдаймыз. Сонда потенциалдық энергия сфералық симметриялық тартылыс өрісі түрінде болады:

,

мұндағы r – ядро мен электронның арақашықтығы, ₀ – электрлік тұрақты. Сутегі атомы үшін z=1. Сонымен Гамильтонның классикалық функциясы былайша жазылады:

мұндағы m₀ – электрон массасы, P_x, P_y, P_z – импульс құраушылары.

Осы алынған өрнекті Гамильтонның операторына түрлендіреміз:

.

Осы операторды электронның  толқындық функциясына қолданғанда сутегі атомы үшін Шредингер теңдеуін аламыз:

, (1)

мұндағы  – Лаплас операторы, Е – электронның толық энергиясы