1. Залежні та незалежні випадкові події
Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними
Незалежні події
У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює вірогідність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називаютьнезалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої.
Вважатимемо,
що дано фіксований ймовірнісний
простір
Означення
1. Дві
події 
називають
незалежними, якщо
.
Означення
2. Нехай
є сімейство (скінченне або нескінченне)
випадкових подій 
,
де 
—
довільна індексна безліч. Тоді ці події
є попарно
незалежними,
якщо будь-які дві події з цього сімейства
незалежні, тобто
.
Означення
3. Нехай
є сімейство (скінчене або нескінчене)
випадкових подій
.
Тоді ці події сукупно
незалежні,
якщо для будь-якого кінцевого набору
цих подій 
вірно:
.
2. Умовна ймовірність та її властивість
Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.
Нехай
—
фіксований ймовірнісний
простір.
Нехай
дві випадкової
події,
причому 
.Тоді
умовною
ймовірністю
події
при
умові
події
називається
Властивостi
Прямо з визначення очевидно випливає, що
Якщо
,
то умовна ймовірність, строго кажучи,
не визначена. Проте іноді умовляються
вважати її в цьому випадку рівною нулю
.
Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція
,
задана формулою
11. Теорема додавання. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи: Якщо події А і В несумісні (тобто в результаті досліду вони не можуть з’явитись разом), то При рішенні задач часто обчислюють ймовірність протилежної події , а потім знаходять ймовірність прямої події А за формулою
Теорема множення ймовірностей. Попередньо сформулюємо означення незалежних та залежних подій.
Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність однієї, будь-якої з них,не залежить від того, відбудеться чи ні інша подія. У протилежному випадку події А і В називають залежними.
Теорема Ймовірність сумісного відбування двох подій дорівнює добутку ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність іншої, яка обчислюється за умови, що перша подія відбулася: , де PА(В)- умовна ймовірність відбування події В за припущенням, що подія А вже відбулася.
12. У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює вірогідність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називаютьнезалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої. Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір .
Означення 1. Дві події називають незалежними, якщо
.
Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажемо ненульова, тобто , визначення незалежності еквівалентне:
,
тобто умовна ймовірність події за умови дорівнює безумовній вірогідності події .
Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій , де — довільна індексна безліч. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто
.
Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій . Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій вірно:
.
Приклад 1. Хай кинуто три урівноважені монети. Визначимо події таким чином:
: монети 1 і 2 впали однією і тією ж стороною;
: монети 2 і 3 впали однією і тією ж стороною;
: монети 1 і 3 впали однією і тією ж стороною;
залежні, бо знаючи, наприклад, що події сталися, ми знаємо точно, що також сталося.
Приклад Бернштейна показує що попарна незалежність подій ще не означає їх незалежність в сукупності.
Підкидається правильний тетраедр, три грані якого пофарбовано відповідно в червоний, синій і зелений кольори, а в розфарбуванні четвертої грані є всі три кольори. Події R (червоний), G (зелений), B(синій) означають, що в розфарбуванні грані, яка стикається з поверхнею, є відповідні кольори. Перевірити, що події R,G,B попарно незалежні, але не незалежні в сукупності.
Оскільки тетраедр правильний, то беремо класичну модель.
Кожен колір наявний на двох гранях, тому .
Два і більше кольорів наявні в розфарбуванні лише однієї грані, тому
.
Звідси,
.
Тому, події R,G,B - попарно незалежні за означенням. Але
що означає, що вони не є незалежними в сукупності.
13. Геометричні ймовірності
При застосуванні понять суми і добутку подій часто подається наочна геометрична інтерпретація цих понять. На рисунках наочно проілюстровано поняття суми і добутку двох подій.
Якщо подія А є попаданням точки в область А, відповідно подія В є попаданням точки в область В, то подія А+В є попадання в область А або В, або в їх спільну частину (рис. 1. 1). Подія АВ є попаданням точки в спільну частину областей А і В.
Означення. Нехай задана область D з площею, яку позначимо “плD”. Тоді ймовірність попадання точки в область , вважаючи достовірним попадання точки в D, обчислюється:
Задача Бюффона вперше зустрічається в роботі Уайтворта “Вибір і шанс”(Choice and chance – London, 1886, chap III, p. 242 – 243). Задача була розв’язана Уайтвортом звичайним способом, який ми використовуємо і зараз. Було підраховано і ймовірність зустрічі. Ця задача знаходила застосування в задачах організації виробництва.
Уже в першій половині XVII століття стало зрозумілим, що класичне означення поняття ймовірності має обмежену область застосування і виникають ситуації, коли воно не діє. Першим, хто зробив крок у напрямку розвитку геометричної ймовірності, був Х. Гюйгенс в 1692 році. Однак в перекладі, здійсненому Д. А. Арбутнотом, задачі на геометричну ймовірність були винесені в додаток як такі, що мають “важкий характер”. Принцип задач полягав у тому, що вводиться міра множини сприятливих події випадків і береться її відношення до міри множини всіх можливих випадків.
Наведемо її формулювання, опустивши доведення.
Площина розграфлена рівновіддаленими прямими. На площину навгад кидається голка. Один гравець стверджує, що голка перетне одну з паралельних прямих, а інший що не перетне.
Бюффон вважав, що шукана ймовірність дорівнює , тоді як в дійсності вона дорівнює . Після Бюффона задачі на геометричну ймовірність стали систематично включати в трактати і підручники з теорії ймовірності.
14.
15. Нехай подія А може відбутись тільки разом з однією із попарно несумісних подій …,, які називаються гіпотезами (hypothesis) і утворюють повну групу . Тоді, якщо відбулась подіяА, то це означає, що відбулась одна із попарно несумісних подій . Це означає: . Використавши теорему додавання, одержимо:
.
З теореми множення ймовірностей , і =1, 2, 3, …, n.
. (1.1)
Одержана формула (1.1) називається формулою повної імовірності.
Після цього нас цікавить питання про те, як зміняться ймовірності гіпотез , і= 1, 2…, n, якщо подія Авідбулась. Тобто, як обчислити . Справедливі рівності: , звідки
(1.2)
Ця формула називається формулою Байєса.
16. Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з ймовірністю p (або не настати — «неуспіх» — q = 1 — p). Задача — знайти ймовірність отримати k успіхів у досліді.
Розв'язок:
Кількість успіхів — випадкова величина, що має розподіл Бернуллі.
Тепер розглянемо цю задачу трохи детальніше. Візьмемо найпростіший стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею» («неуспіхом»), позначимо «0».
Нехай ймовірність успіху 0<p<1, тоді ймовірність невдачі 1-p=q.
Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає у n-кратному повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.
Зрозуміло, що простір елементарних подій Ω, що відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде (1), . За σ-алгебру подій візьмемо булеан простору елементарних подій (2). Кожній елементарній події поставимо у відповідність число . Тобто, якщо в елементарній події ω успіх спостерігався k раз, а неуспіх n-k раз, то . Нехай , тоді . Також очевидною є нормованість ймовірності: .
Отже, поставивши у відповідність кожній події числове значення (3), ми задаємо ймовірність . Побудований простір , де Ω — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), — σ-алгебра, визначена рівністю (2), P — ймовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для n випробувань.
Набір чисел називається біноміальним розподілом.
Звичайна формула Бернуллі застосовується у випадку, коли при кожному випробуванні є можливою одна із двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли при кожному випробуванні виникає одна і тільки одна із подій з ймовірністю , де . Ймовірність з'явлення раз першої подій і — другої і раз k-ої знаходится за формулою
,
де
17. При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
– среднее число появлений события в n испытаниях.
Эта формула дает удовлетворительное приближение для и . При больших рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).
18. Локальная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
где - функция Гаусса
19. Интегральная теорема Лапласа.
Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то
P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).
Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:
а)
б) при больших верно .
Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).
20. Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробувань може приймати певні значення (із сукупності своїх значень) з певноюймовірністю. Випадковою можна назвати будь-яку (не обов'язково чисельну) змінну x, значення якої х створюють множину випадкових елементарних подій {х}.
Розрізняють дискретну і неперервну випадкові величини.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає скінчене число значень з множини, елементи якої можна пронумерувати. Неперервною випадковою величиною називається випадкова величина, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал.
Розглянемо функцію , визначену на всій числовій осі Для кожного значення дорівнює ймовірності того, що дискретна випадкова величина приймає значення менші
Тобто .
Ця функція називається функцією розподілу ймовірностей (the probability distribution function), абофункцією розподілу.
Приклад.
Випадкова величина число очок, що випали при однократному киданні грального кубика.
Ряд розподілу має вигляд:
Знайти функцію розподілу . При , тому що не приймає значень менше 1.
якщо: , то ;
, то;
,то;
Далі аналогічно : ;
;
.
Знаючи функцію розподілу (рис. 2.2), легко знайти імовірність того, що випадкова величина задовольняє нерівності .
З теореми про суму подій і ймовірностей одержимо:
;
.
За визначенням функції розподілу
.
Імовірність попадання дискретної випадкової величини в інтервал дорівнює приросту (the growth) функції розподілу на цьому інтервалі.
Розглянемо основні властивості функції розподілу.
1. Функція розподілу є неспадною.
Нехай , . Із знайденої формули отримаємо:
.
2. Значення функції задовольняють нерівність:
;
, це випливає з означення функції .
3. Імовірність того, що дискретна випадкова величина приймає одне із можливих значень , дорівнює стрибку функції розподілу в точці