Класичне означення ймовірності.

Розглянемо ймовірнісний експеримент, простір елементарних подій Ω, якого є скінченною множиною:  . В цьому випадку елементи множини Ω утворюють повну групу подій.     Вважатимемо додатково, що всі елементарні події рівноможливі, тобто експеримент організовано так, що має місце симетрія, яка забезпечує рівно можливість результатів.     Кожен експеримент, для якого відповідна йому множина Ω є скінченною множиною рівноймовірних результатів, називаютькласичною схемою, або схемою урн.     В силу скінченності Ω алгебра подій S співпадає з множиною всіх підмножин множини Ω (включаючи і порожню множину ø). Тому будь-яка подія A виду  , що спостерігається в цьому експерименті є підмножиною  , а ймовірність її здійснення визначається за формулою класичної ймовірності:

Де N(A) число елементів множини A, число елементів множини Ω.

 Отже, ймовірністю події A , називають відношення числа N(A) сприятливих для події A випробуваннь, до числа , всіх рівноможливих попарно несумісних результатів випробуваннь.     Зауважимо, що умова рівноможливості, як правило, спостерігається в штучно організованих експериментах, які забезпечують певну симетрію елементарних подій (виходів) так, що немає об’єктивних причин вважати одну з елементарних подій більш ймовірною, в порівнянні з іншими. Наприклад, якщо експеримент полягає у вийманні навмання певної кількості кульок із урни, яка містить задану кількість однакових на дотик кульок.     Тому класичну схему називають ще схемою урн.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: P(A)= m /n.

Статистична ймовірність (the statistical probability) має властивості:

1) Р(А) 0 це очевидно, оскільки m 0;

2) для вірогідної події  ;

3) якщо події А і В несумісні, то статистична імовірність події С=А+В дорівнює сумі статистичних ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Легко бачити, що формулою (1) можна користуватись лише у випадку скінченних m i n. Якщо m і nнескінченні, то класична імовірність вводиться аксіоматично. Класичною імовірністю Р(А) події А, яка визначається простором елементарних подій  , називається числова функція, яка задовольняє такі умови:

1) Р(А) ;

2)  ;

3) для несумісних подій А і В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Умови 1) - 3) отримали назву аксіом теорії ймовірностей. Аксіоматичне означення класичної ймовірності зручне в теорії, проте воно не дає способу її обчислення. Такий спосіб дає визначення класичної ймовірності як границі статистичної. Якщо проводяться серії однотипних дослідів, в кожній з яких обчислені статистичні ймовірності, то отримаємо послідовність {Р₁*(А), Р₂*(А), ... Рn*(А)}, границя якої і визначає класичну ймовірність при  .

9. Теорема про ймовірність суми двох несумісних подій

Теорема.    Ймовірність суми двох несумісних подій А і B дорів­нює сумі ймовірностей цих подій: Якщо А  В = , то Р(А + B) = Р(А) + Р(B).

Доведення

Нехай у результаті випробувань відбувається п елементарних подій, т з яких сприяють події А.

Тоді     P(A)=m/n     

Якщо k подій з п подій сприя­ють події B, то P(B)=k/n

Оскільки події А і B — несу­місні, то немає подій, які б одно­часно сприяли і події А, і події B (рис.), тому події А + Bсприяє  m + k подій.

Отже,    P(A+B)=(m+k)/n=m/k+m/k=P(A)+P(B)

Теорема справедлива і для суми скінченої кількості попарно несумісних подій.

Теорема додавання сумісних подій

Сумою 2-х сумісних подій називають подію, що складається з появи або події A, або події B, або обох їх одразу (одночасно).

Теорема. Імовірність суми 2-х сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без урахування їх спільної появи:

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Доведення:

A+B=AB+AB+AB (сума несумісних пар)

Тоді p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Подія A=AB+AB,

Подія B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)

Заувага: в цій теоремі може існувати 2 різні ситуації.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), де A і B - незалежні;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B/A), де A і B - залежні;