Свойства бинома Ньютона

1.Разложение бинома (a + b)ⁿ представляет собой многочлен, расположенный по убывающим степеням a (от n-й до нулевой) и по возрастающим степеням b (от нулевой до n-й); сумма показателей a и b в каждом члене разложения равна показателю степени бинома. Число членов разложения на единицу больше показателя степени бинома.

2.Коэффициенты членов разложения («биноминальные коэффициенты») возрастают до середины разложения и затем убывают; коэффициенты каждой пары членов, равноотстоящих от начала и конца разложения, равны между собой. Если n четное, то имеется один средний наибольший коэффициент; если n нечетное, то имеется два средних наибольших коэффициента.

3.При возведении в n-ю степень разности a - b все четные члены разложения имеют знак "минус": 

6. Комбiнацiї з повтореннями  — це сполуки, якi мають такi характернi ознаки:

1. Порядок розташування елементiв у сполуках не має значення.

2. Елементи у сполуках можуть бути задiянi вiд нуля до m разiв: 0 ≤ k_i ≤ m, де

• m — кiлькiсть мiсць у кожнiй сполуцi вибраної групи;

• k_i — кiлькiсть мiсць у сполуцi для будь-якого елемента, що задiяний для її складання.

Кiлькiсть комбiнацiй з повтореннями обчислюють за формулою

7. Формула включень-виключень (або принцип включень-виключень) — комбінаторна формула, що дозволяє визначити потужність об'єднання скінченного числа скінченних множин, які в загальному випадку можуть перетинатися один з одним.

Наприклад, у випадку двох множин   та   формула включень-виключень має вигляд:

У сумі   елементи перетину   враховані двічі, тому віднімаємо   з правої частини формули. Справедливість цього міркування видно з діаграми Ейлера-Венна для двох множин, яка наведена на малюнку праворуч.

Таким же чином і в разі   множин процес знаходження кількості елементів об'єднання   полягає у включенні всього, потім виключення зайвого, потім включенні помилково виключеного і так далі, тобто в чередувані включення і виключення. Звідси і походить назва формули.

За індукції

Формулу включень-виключень можна довести за індукції При   формула включень-виключень тривіальна:

8. Простір елементарних подій — множина всіх можливих наслідків стохастичного експерименту. Тобто, множина елементарних подій. Зазвичай позначаєтеся літерою Ω, також S або U.

В аксіоматичному підході Колмогорова простір елементарних подій є базою ймовірнісного простору. Від природи простору елементарних подій залежить якими будуть випадкові величини на цьому просторі (неперервними чи дискретними).

Простір елементарних подій називається дискретним, якщо множина Ω скінченна або зліченна. Довільна підмножина простору елементарних подій є подією, всі вони утворюють алгебру подій.

Приклад

Припустимо, що монету підкидають один раз. Простір елементарних подій, цього експерименту має вигляд Ω = {Г, Р}, де Г означає появу герба, буква Р — появу решки. Монету підкидають двічі. Простором елементарних подій цього експерименту є множина Ω = {ГГ, ГР, РГ, РР}. Тут ГР означає, наприклад, що при першому підкиданні з'явився герб, а при другому — решка.

Підкидають шестигранний гральний кубик на якому вибиті очки від 1 до 6. Нас цікавить число очок, яке випало. Простором елементарних подій тут може бути Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Основні операції над подіями можна продемонструвати прикладами алгебри подій - алгебри Буля - у вигляді діаграм Венна

З математичної точки зору події розглядаються як підмножини (А, В, С, ...) множини О елементарних подій ю. Отже, простір елементарних подій - це деяка множина О, а елементарні події - це її елементи ю.

Операції над подіями можна розглядати як операції над відповідними під-множинами, наприклад, підмножиною А і підмножиною В повної множини О елементарних подій ю.

Якщо в результаті випробувань відбувається елементарна подія ю, яка належить множині А, то стверджується, що подія А також відбулася.