4. Примеры оформления решения задач

I. Пример оформления решения задачи на распределение Стьюдента (вычисление вручную, в калькуляторе нет статистических функций)

Определите 99%-ные доверительные интервалы для температуры термопары типа ТХА при отдельных и многократных измерениях, если при измерении были получены следующие результаты: 31,56; 31,82; 31,73; 31,68; 31,49; 31,73; 31,74; и 31,72 мВ. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента.

Алгоритм решения

; ;

Решение

1. Внесем в таблицу данные результатов измерений и вычислим суммы отклонений ΣΔT_i и квадратов отклонений Σ(ΔT_i²).

	Ui мВ	Т0 = 31,7 α = 0,1
i	Ti	ΔTi=(Ti – T0)	(ΔTi)2
1	31,56	–1,4 α	1,56∙α2
2	31,82,	1,2	1,44
3	31,73	0,3	0,09
4	31,68	–0,2	0,04
5	31,49	–2,1	4,41
6	31,73	0,3	0,09
7	31,74	0,4	0,16
8	31,72	0,2	0,04
n = 8		ΣΔTi = – 1,3 α	Σ(ΔTi2) = 7,83 α2

2. В качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины Q_T используем среднее арифметическое значение полученных результатов

мВ (11)

В качестве точечной оценки дисперсии можно применить среднее значение суммы квадратов отклонения полученных результатов от математического ожидания

(12)

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии результатов наблюдений принято определять как

(13)

Оценка дисперсии для среднего арифметического в n раз меньше и определяется по формуле

(14)

3. Используя результаты табличных данных, вычисляем точечную оценку дисперсии для отдельных результатов измерения

(мВ)² (15)

и точечную оценку дисперсии для среднего арифметического

(16)

Точечная оценка СКО для отдельного измерения составляет

мВ (17)

Точечная оценка СКО для среднего арифметического при 8 измерениях равна

мВ (18)

4. Для вычисления доверительного интервала воспользуемся таблицами распределения Стьюдента (Р = 0,99; k = 7)

t = 3,499 ~ 3,5 (19)

5. Вычисляем величину доверительного интервала для отдельного измерения

мВ (20)

и для среднего арифметического при 8 измерениях

мВ (21)

Ответ:

Величина доверительного интервала для отдельного измерении при доверительной вероятности Р = 0,99 составляет U_T = 31,68 ± 0,36 мВ; и для среднего арифметического по результатам 8 измерений = 31,68 ± 0,13 мВ.

II Пример оформления задачи с использованием инженерного калькулятора, встроенного в РС.

Задача.

Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в семи различных точках, оказалась следующей: (°С): 975, 1005, 945, 950, 987, 967, 953. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал случайной погрешности, который соответствует доверительной вероятности 0,99, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

Алгоритм решения

; ;

Решение

1. В качестве оценки наиболее вероятного (истинного) значения температуры используем среднее арифметическое значение по результатам 7 измерений

(22)

Точечную оценку дисперсии результатов наблюдений определяем как

(23)

Оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдения равна

(24)

2. Для вычисления оценок и s_T воспользуемся калькулятором в компьютере

Последовательность действий:

– калькулятор – вид инженерный – выбираем режим статистических функций Sta; открывается дополнительное окно – Статистика

– вводим первое значение температуры 975 – Dat, в дополнительном окне отображается введенное значение и номер замера; последовательно вводим остальные 6 значений;

– выводим значение среднего арифметического – Ave

;

– выводим значение оценки СКО для результатов измерений – s

;

3. Оценка СКО для среднего арифметического в раз меньше и составляет

4. Для вычисления доверительного интервала воспользуемся таблицей распределения Стьюдента (Р = 0,99; k = n – 1 = 6)

t = 3,707 ~ 3,7;

t – безразмерный параметр (дробь Стьюдента);

5. Вычисляем величину доверительного интервала для среднего арифметического по результатам 7 измерений

°С

6. При оценке количества достоверных цифр следует учесть следующее

– измерения проводились с точностью до 1 °С;

– доверительный интервал составляет 30 °С.

С учетом этого для среднего арифметического значения следует принять

°С

Ответы:

Наиболее вероятное значение температуры слитка равно 969 °С;

Величина доверительного интервала для среднего арифметического по результатам 7 измерений при доверительной вероятности 0,99 составляет ± 30 °С

или краткий ответ: °С; Р = 0,99.

Примечание. При решении задачи с помощью калькулятора с встроенными статистическими функциями нужно знать вывод алгоритма вычисления s_T, приведенный в общих замечаниях.