Федеральное агентство по образованию московский государственный университет инженерной экологии

Ф акультет автоматизации и вычислительной техники

Кафедра «Мониторинг и автоматические системы

контроля»

В.А. РЫЛОВ, О.В. СВИРЮКОВА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО МЕТРОЛОГИИ

(Распределение Стьюдента)

Методические указания

Москва

МАМИ

2 013

УДК 543.2 + 658.5

ББК 34.9

Р95

Рецензенты: кафедра АТПП Новомосковского института РХТУ им. Д.И. Менделеева

ведущий метролог Цинзерлинг Д.М., ООО ЭТЭК.

Допущено редакционно-издательским советом МГУИЭ

Рылов В.А. Свирюкова О.В.

Р17       Решение задач по метрологии (Распределение Стьюдента)

Методические указания / В.А. Рылов; Свирюкова О.В. Федер. агентство по образованию, Моск. гос. ун-т инж. экологии, ф-т АИТ, каф. МАСК. — М.: МГУИЭ, 2010. — 24 с. ил.2, табл.1.

Методические указания содержат теоретические положения определения статистических моментов, применяемых при решении задач по обработке результатов измерений с оценкой доверительной вероятности и доверительного интервала. В указаниях приведены классификация основных типов задач, алгоритмы их решения, описание практических приемов вычисления статистических моментов с применением современных калькуляторов, снабженными статистическими функциями. Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по специальности 220301 и изучающих дисциплины «Метрология, общая теория измерений, технические измерения и приборы».

УДК 543.2 + 658.5

ББК 34.9

© В.А. Рылов, Свирюкова О.В. 2013

© МАМИ, 2013

1. Общие положения

При нормальном распредеении случайных погрешностей оценкой истинного (наиболее вероятного) значения измеряемой величины является среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений

(1)

Оценкой дисперсии является среднее значение из квадратов отклонений результатов измерений от среднего арифметического

(2)

Дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии результатов наблюдений (измерений)

; (3)

Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии результатов наблюдений принято определять как

(4)

Оценка среднего квадратического отклонения результатов наблюдения определяется как

(5)

При вычислении среднего значения из квадратов отклонений результатов измерений от среднего арифметического удобно пользоваться следующим тождественным преобразованием; оно лежит в основе большинства машинных алгоритмов

(6)

Таким образом, следует знать и различать три формулы для оценки дисперсии:

1) определение оценки дисперсии результатов наблюдения

(7)

2) выражение оценки дисперсии через средние значения

(8)

3) выражение оценки дисперсии через суммы

(9)

Оценка дисперсии для среднего арифметического определяется по формуле

(10)

Если вычисление проводится вручную или с помощью простого калькулятора, то для упрощения (и повышения надежности) вычислений, можно «сдвинуть» результаты наблюдений на величину Т₀.и ввести множитель α. Этот сдвиг учитывается при вычислении среднего арифметического значения и не влияет на вычисления оценки дисперсии.

В случае применения инженерного калькулятора, оснащенного статистическими функциями, достаточно вводить последовательно результаты измерений.

2. Алгоритмы решения задач

При всем многообразии задач, связанных с распределением Стьюдента, можно выделить 5 основных типов задач. Ниже представлены алгоритмы их решения

Тип 1.

Определите 99%-ный доверительный интервал для температуры термопары типа ТХА, если при измерении были получены следующие результаты: 31,56; 31,82; 31,73; 31,68; 31,49; 31,73; 31,74; и 31,72 мВ. Предполагается, что случайная величина распределена по закону Стьюдента

Алгоритм решения

; ;

Тип 2.

Яркостная температура слитка металла, измеренная квазимонохроматическим пирометром в пяти различных точках, оказалась следующей: 975, 1005, 945, 950 и 987°С. Полагаем, что действительная температура во всех точках одинакова, а разница в яркостных температурах вызвана случайной погрешностью. Оцените наиболее вероятное значение температуры слитка, а также доверительный интервал систематической погрешности, соответствует доверительной вероятности 0,9, предполагая, что погрешности распределены по нормальному закону.

Алгоритм решения

; ;

Тип 3.

Определите доверительный интервал для доверительной вероятности 0,9, если было проведено 10 измерений температуры: 975, 1005, 945, 950, 987, 967, 953, 980, 980, 990°С. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону.

Алгоритм решения

; ;

Тип 4

По результатам 25 наблюдений был определен доверительный интервал отклонений измеряемого давления от наиболее вероятного его значения с доверительной вероятностью 0,7. Δ₁= 238,4243,7 кПа Определите доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95, полагая, что отклонения давления распределены по закону Стьюдента.

Алгоритм решения

(Давление обозначено через R для отличия от вероятности Р).

; ; ;

;

Тип 5

При 10 измерениях длины металлического стержня были получены следующие результаты: 358,59; 358,55; 358,53; 358,52; 358,51; 358,49; 358,48; 358,46; 358,45; 358,42 мм. Определите вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы 0,05мм. Предполагается, что погрешности распределены по нормальному закону

Алгоритм решения

; ;