3.9. Моделирование случайных векторов
Принятое в рассмотренном выше примере допущение о статистической независимости случайных параметров модели позволило обеспечить использование для каждого из них самостоятельного генератора случайных чисел. В общем случае приходится иметь дело с совокупностью статистически зависимых случайных параметров. Тогда возникает задача моделирования системы случайных величин, или случайного вектора.
Случайным вектором (системой случайных величин, многомерной случайной величиной) называется упорядоченный набор случайных величин X=(X1,X2,…,Xn). Составляющие случайного вектора (случайные координаты) X1,X2,…,Xn являются одномерными случайными величинами.
Рассмотрим основные характеристики случайных векторов [20], используемые при моделировании. Ограничимся случаем, когда координаты являются непрерывными случайными величинами.
Функция распределения вероятностей случайного вектора X представляет собой n-мерную функцию совместного распределения его координат:
Fx(x1,x2,…xn)=P(X1<x1,X2<x2,…,Xn<xn). (3.35)
Аналогичный смысл имеет плотность распределения:
.
(3.36)
Для некоторой подсистемы m<n координат вектора X1,X2,…,Xm по (3.35), (3.36) могут быть определены маргинальные ФРВ и ПРВ, например:
;
.
(3.37)
При m=1 получим безусловные ФРВ и ПРВ случайной координаты.
Кроме того, рассматриваются условные ПРВ одной или нескольких случайных координат, связанные с (3.36), (3.37) следующим образом:
,
(3.38)
.
(3.39)
Особое практическое
значение имеют вектор математических
ожиданий координат случайного вектора
,
где
,
i=1,2,...n,
(3.40)
и матрица корреляционных моментов связи, называемая чаще просто матрицей моментов:
.
(3.41)
Диагональные элементы матрицы (3.41) представляют собой дисперсии случайных координат:
,
i=1,2,...,n.
Остальные элементы - корреляционные моменты связи случайных координат, или ковариации:
,
i=1,2,...,n;
j=1,2,...,n;
i
j,
причем ij=ji, то есть матрица (3.41) - является симметричной.
Если закон распределения координат случайного вектора нормальный, он полностью задается вектором математических ожиданий и матрицей моментов.
В частном случае, когда координаты случайного вектора статистически независимы, их совместный закон распределения полностью определяется индивидуальными законами распределения отдельных координат, а для ФРВ и ПРВ имеют место соотношения:
Fx(x1,x2,…xn)=F1(x1)F2(x2)…Fn(xn),
fx(x1,x2,…xn)=f1(x1)f2(x2)…fn(xn).
Соответствующим образом упрощаются соотношения (3.37)-(3.40), а все элементы матрицы (3.41), кроме расположенных на главной диагонали, обращаются в ноль.
Рассмотрим некоторые наиболее известные методы моделирования случайных векторов.
3.9.1. Метод условных распределений
На основе (3.37)-(3.39) совместная многомерная ПРВ статистически зависимых координат n-мерного случайного вектора может быть выражена через одномерные ПРВ отдельных координат:
fx(x1,x2,…xn)=f1(x1)f2(x2x1)…fi(xix1,x2,…,xi-1)…fn(xnx1,x2,…,xn-1),
где безусловная ПРВ координаты x1 определяется аналогично (3.37):
,
(3.42)
условная ПРВ координаты x2 определяется после выполнения (3.37), (3.42):
,
условные ПРВ остальных координат определяются по соотношениям:
,
i=3,...n.
Процедура формирования реализаций случайного вектора включает в себя следующие этапы:
1. В соответствии с безусловной ПРВ f1(x1) одним из рассмотренных в подразд. 3.5 способов генерируется значение x1j.
2. На основе условной ПРВ f2(x2x1) определяется конкретный вариант закона распределения координаты x2, соответствующий x1=x1j:
.
3. В соответствии с ПРВ f2(x2x1j) генерируется значение x2j.
4. На основе условной ПРВ f3(x3x1,x2) определяется конкретный вариант закона распределения координаты x3 f3(x3x1j,x2j).
5. В соответствии с ПРВ f3(x3x1j,x2j) генерируется значения x3j и так далее.
В результате
получается одна псевдослучайная
реализация вектора X
-
.
Рассмотренный метод универсален, но требует большой и тщательной подготовительной работы. Чаще всего условные ПРВ не удается получить в аналитическом виде и приходится использовать приближенные методы. Тогда при реализации генератора на ЦВМ требуется большой объем оперативной памяти для хранения многомерных массивов условных ПРВ и значительные затраты машинного времени на многократное выполнение процедур интерполяции. Поэтому данный метод обычно применяют только для случайных векторов малой размерности.