3.7.2. Критерий согласия Колмогорова

Критерий согласия Колмогорова наиболее удобен в том случае когда по случайной выборке восстановлена статистическая функция распределения F^*(x). В качестве меры расхождения здесь рассматривается максимум абсолютной величины разности теоретической и выборочной (статистической) ФРВ:

,

где F(x) - теоретическая ФРВ.

Критерием согласия является вероятность того, что случайная величина при данном объеме выборки n и правильном выборе теоретического закона могла бы принять значение, не меньшее :

. (3.30)

При вероятности (3.30) рассчитываются в соответствии с законом распределения Колмогорова. Наиболее важные для практики их значения представлены в табл. 10.

Таблица 10

Распределение Колмогорова

	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9
P	0,270	0,178	0,112	0,068	0,040	0,022	0,012	0,006	0,003	0,002

Если теоретический закон распределения подобран, порядок применения критерия Колмогорова аналогичен рассмотренному выше для критерия Пирсона.

О

днако чаще всего критерий Колмогорова применяют непосредственно для подбора теоретического закона распределения, задавшись некоторым критическим значением P= (уровнем значимости), определяющим границу области согласия теоретического и выборочного законов (допустимой области). В этом случае для выбранного значения  по табл. 10 находят соответствующее значение  и на основе графика F^*(x) строят допустимую область (рис. 33). Ограничивающие ее кривые F₁(x) и F₂(x) определяются следующими соотношениями:

Любой теоретический закон распределения, график ФРВ которого не выходит за пределы области между кривыми F₁(x) и F₂(x), то есть при любом значении x удовлетворяющий неравенству , считается согласующимся с результатами эксперимента. Обычно используют значения 0,1 и соответственно 1,22.

3.7.3. Другие задачи проверки статистических гипотез, виды критериев и

их характеристики

Рассмотренная выше задача проверки соответствия теоретического и выборочного законов распределения относится только к одному из видов задач проверки статистических гипотез [5, 20, 35, 43, 46]. Рассмотрим еще два часто встречающихся на практике вида подобных задач.

Задача статистической проверки параметрической гипотезы возникает, когда известен закон распределения исследуемой случайной величины F(x), но неизвестен один из его параметров . Основная (нулевая) параметрическая гипотеза, обозначаемая как H, состоит в утверждении, что данный параметр имеет определенное значение: ₀.

По случайной выборке x₁,x₂,…,x_n находят несмещенную состоятельную оценку ^* параметра и устанавливают, значимо или незначимо (допустимо) различие между ^* и ₀. Для проверки используют статистический критерий W - соответствующим образом подобранную случайную величину, зависящую от ^*. Закон распределения W определяют исходя из условия, что элементы выборки являются независимыми случайными величинами, законы распределения которых совпадают с F(x) при ₀, то есть из условия выполнения гипотезы H.

Выбирают значение уровня значимости  (обычно, в пределах от 0,01 до 0,05), и интервал возможных значений W разбивают на две области - допустимую _д и критическую _к в соответствии с условием

P(W_kH)=. (3.31)

Находят расчетное значение статистического критерия w^*=W(^*), соответствующее используемой выборке. Гипотеза H принимается, если w^*_д, и отвергается в противоположном случае.

Как уже отмечалось выше, из-за ограниченного объема случайной выборки при использовании статистических критериев всегда имеет место риск получения неверных выводов. Возможны два варианта ошибки:

- отвергается правильная гипотеза (ошибка первого рода);

- принимается неправильная гипотеза (ошибка второго рода).

Как видно из (3.31), уровень значимости  представляет собой вероятность ошибки первого рода. Для определения вероятности ошибки второго рода необходимо, помимо основной, ввести противоречащую ей альтернативную (конкурирующую) параметрическую гипотезу G, например: >₀, <₀ или ₀. Тогда вероятность ошибки второго рода определяется следующим образом: P(W_дG). Здесь, в отличие от (3.31), закон распределения W определяется при условии выполнения гипотезы G. Вероятность недопущения ошибки второго рода 1-называется мощностью статистического критерия.

В общем случае выбирать статистический критерий для конкретной задачи и строить запретную область следует таким образом, чтобы обеспечить максимум вероятности  Однако на практике в большинстве случаев здесь применяют готовые рецепты. Тогда заданное значение  или используется для определения необходимого объема выборки.

Пример: проверка гипотезы о значении математического ожидания случайной величины с нормальным законом распределения и известной дисперсией.

Основная гипотеза H: m_x=.

Конкурирующая гипотеза G: m_x.

Статистический критерий: , (3.32)

где n - объем выборки; _x - известное среднеквадратическое отклонение; m^*_x - оценка математического ожидания, определяемая на основе (3.2). Закон распределения W нормальный, причем _W=1, а . При выполнении гипотезы H получим m_W=0 (стандартизованный нормальный закон).

Допустимая область для критерия W строится в виде интервала [w_л;w_п], причем при заданном уровне значимости условие (3.31) примет вид:

P(W<w_лH)+P(W>w_пH)=.

Д

-------------------

Рекомендуется самостоятельно рассмотреть числовые примеры, выбрав значения =1-P_д в соответствии с табл. 7, и сравнить получаемые значения w_0,5 и _д.

ля однозначного определения границ интервала принимается дополнительное условие: P(W<w_лH)=P(W>w_пH)=0,5. Тогда с учетом m_W=0 допустимая область будет иметь вид [-w_0,5;w_0,5]. Значение w_0,5 может быть найдено по таблицам нормального закона распределения*. Теперь по имеющейся выборке находят оценку математического ожидания и определяют по (3.32) расчетное значение статистического критерия w^*. Основная гипотеза принимается при выполнении условия и отклоняется в противном случае.

Рекомендации по определению необходимого объема выборки при заданной вероятности ошибок второго рода приводятся, например, в [12]. Там же содержится большой набор статистических критериев для проверки других вариантов параметрических гипотез.

Задача проверки однородности случайных выборок возникает, когда в распоряжении исследователя имеются результаты двух или более самостоятельных статистических экспериментов и желательна их совместная обработка. В таком случае необходима проверка гипотезы о принадлежности имеющихся выборок к одной и той же генеральной совокупности. Для проверки таких гипотез применяются критерии однородности Смирнова-Колмогорова, Вилкоксона и др.

Критерий однородности Смирнова-Колмогорова по своей форме аналогичен критерию согласия Колмогорова. При проверке гипотезы об однородности двух случайных выборок x₁,x₂,…,x_n и y₁,y₂,…,y_m в качестве меры расхождения рассматривается величина , где F_x,^*_n и F_y,^*_m - статистические функции распределения, определенные соответственно по первой и второй выборкам. Далее используется закон распределения Колмогорова (табл. 10) для случайной величины .