Раздел 3.

9. Дайте характеристику структурализма как одного из направлений в современной философии математики. Назовите причины возникновения структурализма.

10. В чем уязвимость платонистской посылки о существовании независимых от человеческого сознания четко определенных объектов?

11. Структурализм как реакция на проблему неединственности представления математических объектов, в частности, числа.

12. Приведите версии перевода чисел во множества (Фреге-Рассела, фон Неймана, Цермело). Покажите связь неединственности перевода чисел во множества и вопроса – чем же на самом деле являются множества?

13. Правы ли те, кто считает, что онтологические вопросы («чем же на самом деле являются числа») не оказывают на математику никакого влияния?

14. В чем содержание принципа терпимости Карнапа и как может помочь введение аналога этого принципа в отношении онтологических вопросов? НАЙТИ принцип терпимости Карнапа и СДЕЛАТЬ ссылку

15. Какие ответы даются на вопрос, почему числа не могут считаться определенными множествами?

16. Первый ответ – числа вообще не объекты; знаки, представляющие цифры, не указывают на абстрактные объекты - числа и функционируют в знаковой системе независимым образом. Поясните.

17. Нечто может быть объектом, если есть процедура его индивидуализации. Но цифры – часть структуры и их индивидуальность не есть индивидуальность объекта, поскольку роль знака в системе определяется особенностями структуры системы.

18. Числа с этой точки зрения – вообще не объекты, а знаки специфической знаковой системы с определенными законами. Все свойства чисел, определяемые этими законами, принадлежат знаковой системе, и среди свойств нет таких, которые характеризовали бы нечто, выходящее за рамки взаимоотношений элементов структуры. (стр. 24). Структура – это система отношений на совокупности объектов.

19. «Математические утверждения истинны»- считает большинство математиков. Х. Филд – «Математические утверждения ложны», математических объектов не существует; эти объекты – полезные фикции, в теоретическом смысле вполне устранимые), стандартная математика ложна. Но необходимо сохранить математическую практику. Следствия этой точки зрения – нужно дать физические версии анализа. Математические утверждения типа «континуум-гипотезы» оказываются утверждениями об областях пространства и времени. (стр. 26). Как можно назвать такую позицию (которая сохраняет математику ради практических целей)?

20. Теорема консервативности – любое номиналистическое заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистической теории, может быть сделано без помощи математики, с одним лишь использованием логики, (но логический вывод более длинный, чем чисто математический (см. Френкель) (стр. 26) Номиналистическая теория – теория, в которой кванторные переменные ограничены нематематическими сущностями. Нелогический словарь не пересекается со словарем математической теории, т.е. абстрактные объекты математики избегаются.

21. Филд – математика – консервативное расширение номиналистических истин и использование математики – лишь уступка физиологической и психологической ограниченности человека. Согласны ли Вы с этим?

22. Приведите опровержение этого тезиса.

23. Номиналистическая программа как онтологическая – непризнание абстрактных объектов – реальным существованием обладают только физические объекты, единичные конкретности, в противоположность универсалиям. От каких результатов математики должны отказываться неономиналисты?

24. Квазиэмпирический реализм. «П. Мэдди считает, что математики имеют чувственный контакт с множествами в математическом смысле, а не просто с совокупностями материальных вещей». Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подобны физическим сущностям, и поэтому возможен прямой перцептуальный доступ к ним. Как Мэдди отличает совокупность физических вещей (груду камней) от множества тех же самых камней?

25. Как Ч. Чихара критикует Мэдди?