Глава 1

ПОИСКИ НОВОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

1. Философские программы в математике

Философия математики как отдельная ветвь философии роди­лась сто лет назад. Исследования в области оснований математики и математической логики, начатые в конце XIX — начале XX в., были связаны с грандиозными философскими программами, а именно с логицизмом, интуиционизмом и формализмом.

С тех пор традиционным описанием проблем философии мате­матики стало описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось естественным завершением попыток преодолеть кризис в основаниях математики, развившийся в начале XX в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении, на­пример, через превосходную книгу М. Клайна (1), не говоря уже о массе более технических изложений (2). Существует много других книг, в которых излагается материал, в той или иной мере связан­ный с достижениями в математической логике и основаниях мате­матики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы — логицизм Г. Фреге и Б. Рассела, интуицио­низм Я. Брауэра и А. Рейтинга, формализм Д. Гильберта и Дж. Фон Неймана.

Поначалу эта связь философии и математики казалась необхо­димой, но со временем росло разочарование в выполнимости этих программ, и к 1960-м годам в настроениях математиков и логиков стала превалировать усталость. В этом отношении весьма симпто­матично замечание А. Мостовского в работе Тридцать лет иссле­дований в области оснований математики: «Философские цели трех школ не были достигнуты, и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ» (3). Многие ис­следователи полагают, что сами программы не имеют и не имели прямого отношения к основаниям математики и математической логике, а возникновение программ обязано философским талантам и интересам основателей школ. Больше того, другие исследователи полагают, что сами философские программы появились в результа­те случайных исторических совпадений, в частности того, что та­кие люди, как Рассел, будучи одинаково компетентными в матема­тике и философии, связали теорию типов как математическую про­грамму с логицизмом как философской программой. По крайней мере, среди философов подобного рода связь закрепилась надолго, и потребовалось значительное время для того чтобы ощутить необ­ходимость в ревизии таких «заблуждений». Другим примером мо­жет служить интуиционизм Брауэра, философские основания кото­рого кажутся весьма далекими от конструктивистской математики. Наконец, вступающие в область философии математики встречают­ся с явным затруднением, пытаясь примирить мнения о формализме Гильберта с его знаменитым лозунгом «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» (рая, естественно, платонистского). Характерно в этой связи свидетельство Хао Вана: «интерес философов к основаниям математики возник как результат той ис­торической случайности, что Рассел и Фреге правильно или непра­вильно связали некоторые области математики с философией... Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии»(4).

Определенная стагнация в этой области философии может быть оценена в сравнении с философией науки. В 30—40-х годах XX в. философия науки направлялась логическими позитивистами, влия­ние которых ослабло лишь с появлением новых идей о решающей роли научной практики и исторических изысканий в науке. Р. Херш говорит, что «философия математики запоздала со своими Поппером, Куном, Лакатосом и Фейерабендом. Она запоздала с анализом того, что делают сами математики, и с соответствующими фило­софскими рассмотрениями» (5).

В цитированном выше отрывке А. Мостовский продолжает уже с большим оптимизмом: «Вопреки этому, нельзя отрицать, что ак­тивность этих школ принесла огромное число новых важных откры­тий, которые углубили наше познание математики и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более важными, чем исходные цели основателей трех школ». Но возмож­но, именно это обстоятельство явилось причиной отсутствия про­гресса в философии математики, потому что проблемы, бывшие соб­ственно философскими, перестали быть таковыми, перейдя в раз­ряд «технических», чисто математических или логических. Быть может, исследования в области философии математики, точнее, ос­нований математики, действительно должны быть в высшей степе­ни техническими исследованиями, а само появление традиционных классических направлений было обязано тому, что «отцы-основате­ли» сумели соотнести (быть может, и не совсем обоснованно) мате­матические и философские проблемы, как это сделал Рассел, увязав поиски спасения от парадоксов с логицизмом. Кстати, такого рода процессы происходили непрерывно, например, в 60-е годы XX в. одним из аспектов такой технизации философии явилась алгебраизация логики, связанная с развитием теории моделей, когда к удив­лению философов, всегда считавших логику своей вотчиной, мно­гие ее положения стали алгебраическими теоремами.

Современными свидетельствами усталости и недовольства мо­гут служить признания двух ведущих философов математики. Не­давно видный философ и математик X. Патнэм опубликовал статью с характерным названием Почему ничего из этого не работает (имея в виду традиционно главные направления в философии математи­ки). Далее, видный логик Я. Хинтикка отмечает, что «подобно Деррида, я верю, что современная философия... созрела для деконст­рукции» (6). Нет никаких сомнений, какую часть современной фи­лософии Хинтикка хочет деконструировать, если иметь в виду вышедшую годом ранее его книгу Принципы математики ревизированные (7)', название которой, по его признанию, есть аллюзия к работе Рассела Принципы математики 1903 г., в которой изложе­ны многие программные идеи в области оснований математики.

Известный математик Ж-.К. Рота идет еще дальше и дает объяс­нение тому факту, что философия пошла по неверному пути вооб­ще, ассоциировав себя с математикой. Философия, подобно матема­тике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков стандарты аргументации у философов оказались весьма различны­ми. Рота утверждает, что заключения философов часто диктуются эмоциями, и разум в этих заключениях играет лишь вспомогатель­ную роль, а поиски философией окончательного ответа на свои воп­росы вылились в рабскую имитацию математики. Апелляция к ма­тематической логике, которая и представляет собой главную основу философии математики, оказалась несостоятельной, потому что ло­гика больше не является частью философии. Математическая логи­ка является процветающей частью математики, и она прекратила свои связи с основаниями математики. «Ценой допущения логики в математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии» (8).

Другими словами, философия математики оказалась в глубоком кризисе, начиная с 50—60-х годов XX в., когда были исчерпаны ре­сурсы традиционных подходов к пониманию оснований математи­ки. И хотя традиционное преподнесение проблем этой области фи­лософских исследований опиралось (да и опирается сейчас) на три великих направления, существует глубокий скепсис относительно возможностей самой дисциплины. И тем не менее, по мнению ряда авторитетных исследователей, дисциплина выжила, поскольку ста­рые проблемы были заменены новыми (9).