§ 2. О различии некоторых подходов в чистой и прикладной математике

1. Предварительные замечания. Имеется много математических понятий и утверждений, которые в чистой и прикладной математике трактуются одинаково или почти одинаково и потому могут быть более или менее непосредственно перенесены из чистой математики в прикладную — конечно, если они представляют интерес для последней. К их числу относятся разнообразные тождественные преобразования, понимаемые в широком смысле, например к таким преобразованиям можно отнести и формулу Грина; многие другие однозначно понимаемые формулы, например формулы дифференци­рования или формула для решения квадратного уравнения; утверждения типа «все решения данного уравнения положительны», «данная задача не может иметь более одного решения» и т. д.

Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в чистой и в прикладной математике принципиально различаются. Здесь мы остановимся именно на случаях, когда понятия и утверждения чистой математики не приемлемы для прикладной математики и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь, не­приемлемые с точки зрения чистой математики; сюда же примыкает важный вопрос о понятии строгости.

2. «Существование» в чистой и прикладной математике. В чистой математике (как было сказано в конце п.1.7, здесь имеется в виду ее общепринятый «наивный» уровень) понятию «существование» долгое время вообще не давалось ни определений, ни пояснений; как бы подразумевалось, что его содержание и так каждому ясно. Самими собой понятными считались выражения типа (а) «решение этой задачи существует», или (б) «в множестве М существует по крайней мере один элемент х₀, обладающий свойством α». Д. Гильберт разъяснил содержание термина «существование» (в рамках чистой математики). По Гильберту, «существование» тождественно логической непротиворечивости. Тем самым термину было приписано вполне ясное содержание, причем одновременно обнаружилась и определенная бедность этого содержания с прикладной точки зрения. Отметим, что еще Г. Кантор в «Теории множеств» говорил, что под существованием математических объектов можно понимать лишь отсутствие противоречий в понятиях об этих объектах. Потом эту мысль развил А. Пуанкаре: «...слово «существовать» может иметь только один смысл, оно означает именно отсутствие противоречия» (Пуанкаре А. Математика и логика. В кн.: Новые идеи в математике, 10. Пг., 1915, с. 6). Д. Гильберт положил эту трактовку в основу своей системы логики.

Для прикладника математический объект всегда представляет собой схематизацию реального, например физического, объекта. Поэтому голое утверждение о существовании математического объекта, например утверждение «решение данной задачи существует», обычно для прикладной математики совершенно недостаточно. В лучшем случае оно может иметь какое-либо вспомогательное, промежуточное значение, либо может иметь наводящий характер для «подлинного» утверждения о существовании, в котором математический объект фактически конструируется с приемлемой точностью, например, в случае (а) находится решение, а в случае (б) указыва­ется элемент х₀ (5).

Разумеется, доказательство теоремы о существовании всегда служит вдохновляющим фактором для исследователя в его поисках конструктивного решения (6); отсутствие такого доказательства может вообще удержать наиболее осторожных исследователей пессимистического склада от фактического конструирования решения.

Однако в целом можно сказать, что неконструктивное доказатель­ство существования не обладает большой ценностью для прикладни­ка, а отсутствие такого доказательства неспособно его обезоружить в поисках фактического решения. Многое зависит от способа доказа­тельства теоремы о существовании. Пусть, например, бесконечное множество М достаточно простой структуры служит математиче­ской моделью реального (конечного!) объекта R с неопределенно или просто достаточно большим числом элементов. Например, множество натуральных чисел может служить моделью упо­рядоченной дискретной реальной совокупности, состоящей из конечного, но неопределенно большого числа элементов. Аналогичная ситуация возникает, когда мы какой-либо реальный объект неопределенно большой или просто доста­точно большой протяженности во времени или в пространстве заменяем при иссле­довании на объект бесконечной протяженности.

Если утвержде­ние «в М существует по крайней мере один элемент х₀, обладающий свойством α», доказано с помощью прямого конструирования этого элемента, то обычно бывает сравнительно просто разобраться, что отвечает этому утверждению в R. Но если оно получено путем при­ведения к логическому противоречию противоположного утвержде­ния («каждый элемент М не обладает свойством α»), то ситуация оказывается более сложной. Так, элемент из R, который должен был бы отвечать х₀, может оказаться в той «неопределенной дали», где примененная математическая схематизация теряет свою отчет­ливость.

Отметим, что известные возражения интуиционистов против применения закона исключенного третьего (7) к бесконечным множествам (см., например, [12; 13]) имеют основания, по-видимому, до некоторой степени сходные с приведенными. Упрощенно говоря, интуиционисты считают, что математический объект признается су­ществующим, только если он фактически указан.

Неконструктивные утверждения о существовании могут получаться также при применении закона исключенного третьего к ко­нечным множествам. Правда, если элементов у множества немного - а свойство α, которым должен обладать искомый элемент х₀, легко проверяемо, то эффективное построение этого элемента можно осу­ществить хотя бы с помощью простого перебора или какого-либо ино­го метода, на указание которого может вдохновить чистая теорема существования. Но если названные условия нарушены, то утверж­дение становится менее конструктивным, причем такая неконст­руктивность может дойти до полной.

Приведем пример. Одним из первых начал применять неэффек­тивные доказательства существования для конечных множеств П. Ди­рихле на основании выдвинутого им утверждения, которое теперь называется принципом Дирихле. Этот принцип, легко вытекающий из закона исключенного третьего, гласит, что если п предметов разложено по т ящикам, причем п > т, то по крайней мере в одном из ящиков будет более одного предмета. Так, с помощью принципа Дирихле легко доказывается, что в городе с полумиллионным населени­ем в любой момент всегда существуют по крайней мере два человека с одинаковым числом волос (для этого надо к одному классу — «ящику» — отнести людей с одинаковым числом волос). Но ведь установ­ление этого факта никак не помогает персонифицировать эту пару «равноволосых» людей; более того, по отношению к любому прошед­шему моменту такая персонификация вряд ли возможна когда-либо в будущем, хотя теорема о существовании равноволосых пар установлена!

Между прочим, утверждение типа «среди первых 100 натуральных чисел существует число п, обладающее свойством α», уже имеет прикладное содержание, если число 100 в рассматриваемой реальной задаче является на самом деле конечным, т. е. до него можно фактически добраться. Если задача состоит в отыска­нии числа, обладающего свойством α, то приведенное утвержде­ние содержит не менее «0,01 полного решения», которое можно получить хотя бы с помощью перебора (в реальной возможности такого перебора и состоит «истинная конечность» числа 100 в рассматриваемой ситуации), если не представится ничего лучшего. Впрочем, возможны и реальные задачи, для которых утверждение, приведенное в начале абзаца, служит полным решением.

Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на понятие существования математического объекта: в прикладной математике он существует как математическая модель реального объекта, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда как в чистой математике он существует как идея, не противоречащая принятой системе аксиом. Интересно отметить, какой метаморфозе подвергается понятие существования, переходя из естественных наук в чистую математику и превращаясь при этом из служебного понятия в объект изучения! Здесь проявляется общий тезис о том, что одни и те же слова могут иметь для различных людей далеко не одинаковый смысл. Различные группы людей как бы говорят на хотя и значительно взаимосвязанных, но не идентичных и порой сильно отличающихся друг от друга языках. Игнорирование этого служит посто­янным источником недоразумений.

В заключение приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роббинса [14, с. 136—137 и 139], относящиеся к описанной выше проблеме существования.

«Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то есть существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, что из несуществования объекта можно вывести противо­речивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором ничего, кроме противоречия».

«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упи­раются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике? К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовле­творительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждала, что в математике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очевидной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из ко­торых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и до­казательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Геделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере, в той форме, в какой она была намечена самим Гильбер­том, не может быть осуществлена (8). Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализованного построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или скры­той форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жиз­ненным элементом в математике».

3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту важ­нейшую проблему, которая также по-различному трактуется в при­кладной и чистой математике. Реальные объекты всегда конечны, поэтому бесконечный математический объект (бесконечная последо­вательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в результате упрощающей математической схематизации, когда «да­лекие» элементы, участки теряют свою индивидуальность, их влия­ние сходит на нет (9). Таковы понятия упругого пространства (полу­пространства и т. д.) или бесконечно длинной балки на упругом основании в теории упругости, или понятие об установившемся ре­жиме вынужденных колебаний (или автоколебаний), на который не влияют начальные условия. Реальное количество элементов или реальный размер интервала, дающие возможность перехода к математи­ческой бесконечности, в различных задачах даже при изучении од­ного и того же объекта весьма различны; они зависят от «скорости за­тухания» влияния далеких элементов и принятой оценки существен­ности этого влияния. Поэтому такая бесконечность является, по существу, незавершенной и притом счетной: в дискретном случае количество «конечных» элементов, которые имеют «персональное» значение, может в аналогичных рассмотрениях и даже в процессе одного и того же рассмотрения меняться, бесконечное множество может при этом заменяться на конечное и обратно. Аналогичные метаморфозы в непрерывном случае происходят со временем установ­ления, пограничным слоем и т. д.

Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется в результате схематизации конечной системы, в которой каждый элемент потерял индивидуальное значение. При такой схематизации дискретность заменяется на непрерывность, суммы — на интегралы и т. п. Интересно, что в некоторых конкретных примерах число элементов в си­стеме, обеспечивающее возможность такой упрощающей замены, может оказаться весьма небольшим. В качестве примера сошлемся на задачу о вычислении наиболь­шего прогиба круглой пластинки, нагруженной в середине и свободно опертой в n точках на контуре, которые расположены в вершинах правильного n-угольника. Расчеты показывают, что уже при п = 5 эту систему опор можно с достаточной точностью заменить на кольцевую шарнирную опору вдоль всего контура. Таким образом, в рассматриваемой задаче уже 5 ≈ ∞.

Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально (завершенно) бесконечных множеств, при переводе на язык приложе­ний нуждаются в тщательном анализе.

Имеется еще одно существенное отличие в подходе чистой и при­кладной математики к бесконечному: речь идет о понятии бесконеч­но малого. Как известно, чистая математика уже давно отвергает концепцию актуальной бесконечно малой, а современные математи­ческие курсы для математиков вообще обходятся без упоминания это­го понятия. В то же время все дифференциальные законы приклад­ных дисциплин выводятся и трактуются на уровне актуальных бес­конечно малых, причем стихийно, без явных формулировок вырабо­тались навыки действий с такими величинами, например представ­ления о том, когда можно, а когда нельзя отбрасывать величины высшего порядка малости и т. п. Например, при рассмотрении криволинейного движения материальной точки для построения вектора скорости можно малый (точнее, актуальный бес­конечно малый) участок траектории заменить на малый прямолинейный отрезок, отбросив малые высшего порядка, определяющие искривление этого участка. Однако в динамике при рассмотрении действующих на точку сил уже приходится удерживать малые 2-го порядка, а малый участок траектории можно заменить на дугу окружности. Если же изучается кручение траектории в пространстве, то начинают играть роль даже величины 3-го порядка малости по сравнению с дли­ной участка траектории.

Впрочем, отсутствие разверну­того исчисления бесконечно малых и сейчас может привести в более сложных ситуациях к недоразумениям и даже к прямым ошибкам.

Иногда думают, что вывод и трактовку дифференциальных за­конов можно сделать «вполне строгими» с помощью «строгого» (на ε-уровне) перехода к пределу. На самом деле положение существен­но сложнее: такой переход невозможен уже из-за квантовых и моле­кулярных свойств, в силу которых рассматривать физические вели­чины, уменьшенные сверх некоторых разумных границ, вообще лишено смысла. В связи с этим физики вводят «физически» или «практически» бесконечно малые величины, допустимые при рассмот­рении физических дифференциальных законов, впрочем, не давая это­му понятию определения на уровне чистой математики. Строгий (в смысле чистой математики) предельный переход производится на самом деле в некоторой математической модели физической карти­ны, однако правила построения этой модели не являются в этом же смысле строгими. Иногда просто говорят, что такая модель получает­ся в результате осреднения реальной картины по областям физи­чески бесконечно малых размеров, но такую оговорку чистая мате­матика, конечно, не может признать строгой.

В качестве типичного примера рассмотрим определение плотнос­ти в точке неоднородного тела

(1)

где (ΔV) означает малую область, содержащую точку A, a ΔV — объем этой области, а прочие обозначения очевидны. Ясно, что реально (ΔV) не должна безгранично уменьшаться, ее размеры долж­ны быть существенно больше межмолекулярных расстояний, хотя и существенно меньше характерных конечных размеров, на кото­рых плотность может заметно измениться. Применяя для области таких размеров букву d вместо Δ, приходим к формулам

в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно ма­лые величины, т. е. величины, удовлетворяющие описанным оцен­кам; эти величины можно рассматривать как переменные или как постоянные. Формулу (1) можно понимать в смысле чистой матема­тики, если реальное вещество, состоящее из частиц, предварительно заменить с помощью осреднения и «сглаживания» результата на мате­матическую сплошную среду.

Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные мас­штабы протяженности, возникают при рассмотрении плотности на­селения на Земле или плотности распределения звезд во Вселен­ной. Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом примере оно выглядело бы несколько странно...

Примененные выше выражения «существенно больше», «суще­ственно меньше», «заметное изменение» не имеют точного чисто ма­тематического смысла, это типичные рациональные понятия (§ 3). В большинстве теоретических рассуждений эти понятия и не нуж­даются в полном уточнении, достаточно иметь уверенность в том, что величина выбирается с необходимым «запасом прочности», который может понадобиться в этих рассуждениях. Во многих случаях пере­ход к величинам высшего или низшего порядка означает по тради­ции попросту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз, хотя в ряде случаев такой коэффициент, как бы меняющий качест­во величины, имеет существенно иное значение. Какие-либо обосно­ванные общие соображения о выборе этого коэффициента пока отсут­ствуют и трудно себе представить, на что они могли бы опираться.

Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией дифференциальных законов, имеют всегда не чисто дедуктивный, а рациональный характер.

4. Прикладная математика и число. Даже к такому первичному математическому понятию, как число, чистая и прикладная мате­матика относятся по-разному: первая — как к преимущественно ло­гическому объекту, а вторая — как к порядковому индексу или к количественной мере реальной дискретной совокупности (натураль­ное число) или непрерывной протяженности (вещественное число). Это различие подхода особенно ярко проявляется при рассмотрении весьма, даже в определенном смысле чрезмерно, больших или малых чисел. Проблемы, возникающие при этом, непосредственно связаны с проблемой бесконечности (п. 3) и частично затрагивались выше.

Будем рассматривать сначала натуральные числа, истолковы­вая такое число как мощность — количество элементов реального множества. Если первые числа имеют отчетливо выраженную инди­видуальность, то по мере увеличения индивидуальность чисел по­степенно теряется, конечно, для разных классов задач с разной ско­ростью. При этом имеется в виду не формальная, а реальная инди­видуальность: например, число 10¹⁰ имеет отчетливую формальную индивидуальность, однако трудно представить себе реальную задачу, в которой множество с 10¹⁰ элементами отличалось бы от множества с 10¹⁰ + 1 элементами. По-видимому, в быту такая по­теря индивидуальности постепенно начинается с нескольких десят­ков, в более точных научных и технических расчетах — с несколь­ких сотен или тысяч, редко дальше; исключение по понятным при­чинам составляют некоторые финансовые расчеты. Таким образом, реальное большое число становится как бы представителем семейст­ва близких ему чисел (На этом вопросе останавливается П. К. Рашевский в своей очень интересной дискуссионной статье [15]).

Еще большие формально выписанные числа вообще полностью теряют всякий реальный смысл. Рассмотрим, например, число N = . Нетрудно убедиться в том, что никакая реальная совокуп­ность не может иметь число элементов, сравнимое с N, т. е. в любой реальной задаче N будет равнозначно бесконечности. По-видимому, можно даже сказать, что в прикладной математике как окон­чательный результат является не числом, а символической картин­кой, наподобие . Осознание реальной недостижимости формально построенных чрезмерно больших чисел привело в последние годы к возникновению нового течения в математической логике — уль­траинтуиционизма (см., например, [16, § 1.2]). Характерно название первой работы в этом направлении Д. ван Данцига: «Является ли конечным числом?» Впрочем, позже мы укажем, что числа вида N могут играть промежуточную роль, подобно мнимым числам, которые порой появляются в промежуточных выкладках, хотя оконча­тельные значения физических величин должны быть вещественными.

Конечно, сколько-нибудь точно указать рубеж, отделяющий «ис­тинные» числа от чисел, являющихся следствием принятой системы обозначений и имеющих лишь ограниченное промежуточное значение, невозможно. Обычно указывается по этому поводу интервал от 10¹⁰⁰ до 10²⁰⁰ (см., например, весьма интересную книгу Э. Бореля [17, гл. VI]). По современным представлениям, наибольшая протя­женность во Вселенной имеет порядок 10¹⁰ световых лет, т. е. 10²⁸ см. С другой стороны, наименьшие реальные значения длин, вероятнее всего, не менее 10^–15— 10^–20 см (см., например, [18]). Поэтому зна­чение (10²⁸: 10^–20)³ = 10¹⁴⁴ наверняка значительно превосходит число элементарных частиц во Вселенной. Для любых реальных ус­ловий отношение наибольшего реального интервала времени к наи­меньшему вряд ли превосходит 10⁴⁰ В «Арифметике» Л. Магницкого указаны наименования чисел до 10³⁰, ибо «довлеет числа сего к вещам всем мира всего» (довлеет — значит достаточно). С другой стороны, существенно более современный автор Р. Эшби пишет [19]: «Все материальное не может выражаться числом, превышающим 10¹⁰⁰».. Однако здесь указаны са­мые далекие рубежи, возникающие только в астрофизике; в технике вряд ли могут встретиться отношения реальных величин больше 10²⁰.

Число N, формально определенное выше, на самом деле не сравни­мо с реальными числами. В самом деле, по правилам арифметики N : 10¹⁰⁰ = . Однако в силу упомянутой выше реальной неопределенности больших чисел можно положить 10¹⁰ — 100 = = 10¹⁰, откуда N : 10¹⁰⁰ = N. Отсюда мы видим, в частности, что применение самых мощных ЭЦВМ нисколько не приближает нас к овладению числом N. А. Н. Колмогоров предлагал [20] подразделять натуральные числа на принципиально различные классы малых, средних и больших чисел (к последним относится и N); при этом проблема, которую нельзя решить с помощью «среднего» перебора, находится «за пределами машины на любой сколь угодно высокой ступе­ни развития техники и культуры».

Таким образом, при применении к прикладной математике тео­рем существования (см., в частности, п. 1), предельных переходов, оценок, полученных в чистой математике, надо все время иметь в виду осмысленные диапазоны значений рассматриваемых величин. Иногда при этом приходится пересматривать привычные представ­ления; например, теоретически , однако lg lg10¹⁰⁰ = 2.

Выше уже упоминалось, что формальные чрезмерно большие чис­ла могут иметь вспомогательное, промежуточное значение в реальных задачах. Так, известно, что в статистической термодинамике тем­пература порции газа вводится с помощью ее энтропии, которая по определению равна логарифму числа квантовых состояний этой пор­ции. Простые оценки показывают, что для 1 л кислорода в нормальных условиях это число приближенно равно N₁ = , т. е. несравнимо больше введенного выше числа N; другими словами, N₁ : N = N₁. Конечно, это не противоречит оцен­ке «самого большого реального числа», так как множество всех кван­товых состояний никак нельзя считать физически реализованным; это множество в принципе ненамного отличается от множества всех натуральных чисел, хотя и создает иллюзию завершенности. Сама энтропия S = ln N₁ тоже очень велика, но имеет порядок числа мо­лекул в системе; поэтому энтропия в расчете на одну частицу, а также и температура газа имеют уже конечные значения.

Хотя описанный подход к понятию энтропии сейчас является не только возможным, но даже необходимым, трудно отделаться от чувства досады из-за того, что отправной точкой в данном рассужде­нии послужило нереализуемое число N₁. Быть может, имеются другие подходы, при которых все отправные точки имеют непосредственный физический смысл.

Отметим, что в чистой математике, например в теории чисел, рас­смотрение как угодно больших натуральных чисел является доволь­но привычным делом. Порой ощущается как бы своеобразная гор­дость за возможность конструктивного проникновения в область чисел, недоступных непосредственному воображению, причем к это­му проникновению привлекаются ЭЦВМ. Так, с помощью ЭЦВМ доказана простота числа 2¹⁹⁹³⁷ — 1 — это самое большее из извест­ных простых чисел к 1971 году. Еще один пример мы заимствуем из яркой книги [21, с. 123—124]. Дж. Литлвуд в 1914 г. доказал, что существует натуральное М, для которого число простых чисел, не превосходящих М, будет больше , однако доказательство Литлвуда не давало возможности оценить значение М; известно было только, что М > 10⁷. И вот в 1937 г. Скьюис получил «оценку» М < , которая затем была «улучшена» (10) до М < . Можно привести и ряд других аналогичных примеров. Однако думается, что эта конструктивность имеет примерно тот же характер, как, например, в теории трансфинитных чисел; грубо го­воря, на основании формальных аналогий как бы условливаются называть некоторые логические следствия из принятой системы аксиом конструктивными, в отличие от прикладной математики, кон­структивность в которой должна быть в той или иной степени связана с конструированием или распознаванием и т. п. реального объекта.

Естественно, что те же вопросы возникают при рассмотрении фор­мально определенных чрезмерно малых положительных чисел. Так, выражение , полученное в прикладной задаче в качестве окон­чательного ответа, равно нулю, причем не приближенно, а точно (11), так как это «число» несравнимо меньше любого реального положи­тельного числа. Малые, получающиеся при сравнении реальных ве­личин, обратны большим, но реальным числам, о которых говорилось выше. В практических расчетах такие малые часто появляются из-за неадекватного выбора единицы сравнения, например, если выра­жать массу электрона в тоннах и т. п. «Истинная» малость, которая еще что-то значит по сравнению с единицей, — грубо говоря, которую еще можно добавлять к единице, — определяется осмысленной относи­тельной точностью величин, т. е. в конечном счете уровнем измери­тельной техники. Сейчас выше всего — до 10^–12 — доходит относи­тельная точность измерения времени и длины; точность измерения многих других величин существенно ниже. Этим определяются те малые, указание которых осмысленно в окончательном ответе.

Конечно, в дальнейшем эта точность будет повышена, но отнюдь не беспредельно, так как этому противоречат молекулярные и кван­товые свойства, в частности принцип неопределенности; вряд ли эта точность в обозримом будущем превысит 10^–20.

Точность промежуточных вычислений, естественно, должна пре­вышать точность окончательного ответа, но не так уж значительно; необходимый запас точности в простых случаях можно подсчитать, исходя из правил приближенных Вычислений. При вычислениях на ЭЦВМ нет смысла специально загрублять степень точности про-межуточных вычислений, если она оказывается избыточной. По­этому такие вычисления производят с естественной точностью, свой­ственной ныне применяемым ЭЦВМ; обычно она близка к 10^–10 и для подавляющего большинства вычислений оказывается достаточ­ной. В редких случаях применяется удвоенная точность, близкая к 10^–20.

Таким образом, не только бесконечные десятичные дроби, фор­мально допускаемые чистой математикой, но даже дроби со слишком большим числом значащих цифр лежат за пределами прикладной математики. Заметим в качестве курьеза, что, как отмечено в превосходной книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения («Мир», М., с. 429), в 1961 г. на машине ИБМ-7090 примерно за 9 ч было вычислено число π с 100625 верными знаками. Мы предлагаем читателю самому решить вопрос о том, какая наивысшая точность π может понадобиться при решении реальных геометрических задач.

Иррациональные числа, такие, как , π и т. п., в прикладной математике определяются отнюдь не своими «полными» десятичными разложениями.

Итак, математический континуум (числовая прямая) при чрез­мерном продвижении в область малого становится неадекватным фи­зическому (На этом, в частности, останавливается М. Борн в книге «Физика в жизни моего поколения». ИЛ, М., 1963, с. 312). Конечно, это замечание нельзя рассматривать как упрек по адресу теории вещественного числа! Всякая логиче­ская схема не вполне адекватна описываемому ею объекту и это в том или ином должно проявиться. Теория вещественного числа логически достаточно проста, основанный на ней математический анализ внутренне согласован и имеет огромное число приложений, следствий, правильно описывающих реальность. Ценность этой тео­рии не вызывает сомнений.

Однако здесь, как и при проведенном выше рассмотрении чрез­мерно больших чисел, проявляется важная черта, свойственная всякой чисто дедуктивной теории. Содержательная дедуктивная тео­рия отталкивается от той или иной реальной структуры и заменяет ее некоторой формальной структурой, которую затем развивает по формально-логическим законам. Так как эти две структуры не вполне эквивалентны, то в дедуктивной теории наряду с выводами, адекват­ными реальности, могут появиться своего рода «монстры» — пара­зитные результаты, имеющие характер чисто логических следствий и не допускающие реальной интерпретации; при этом на получе­ние выводов второго рода могут затрачиваться усилия. И если не привлекать соображений, лежащих за пределами возводимой тео­рии, то нет возможности различать эти два типа следствий.

В этом состоит, возможно, основная трудность в развитии чистой математики. В связи со все большей разветвленностью изучаемых логических структур, все больше увеличивается объем, а возмож­но, также и доля результатов паразитного характера, которые из-за отсутствия внутреннего критерия паразитности нет возможности отсечь. К тому же такое отсечение всегда сопряжено с некоторым риском: не раз оказывалось, что вопросы, казавшиеся ранее сугубо отвлеченными, в дальнейшем приобретали реальное значение; здесь приходится полагаться на интуицию. В качестве примеров можно сослаться на такие, первоначально чисто абстрактные построения, как комплексные числа, матрицы, неэвклидовы геометрии, гильбер­тово пространство. (Впрочем, паразитные следствия могут возникнуть не только в математике. Таковы, например, бесконечно большие ско­рости при решении некоторых задач гидромеханики или бесконечно большие напряжения в некоторых задачах теории упругости.) С этой особенностью связана трудность оценки актуальности математиче­ских исследований, так как трудно указать иной критерий ценности работы, помимо непротиворечивости. В отличие от чистой мате­матики прикладная математика не имеет строго дедуктивного характера, и одним из важнейших ее направлений является пос­тоянное уточнение области приложения логических конструкций.

5. Замечание о невозможных событиях. Из п. 4 вытекает суще­ственный вывод, относящийся к предсказанию, основанному на подсчетах или оценках вероятностей. Известно, что если формально подсчитанная вероятность некоторого события оказывается положи­тельной, хотя бы чрезмерно малой в смысле п. 4, то такое событие часто объявляют хотя и крайне мало вероятным, но все же возмож­ным. Думается, что такая терминология противоречит разумному применению слова «возможность»; следуя ей, пришлось бы призна­вать возможным всякий вздор, вроде того, что дважды два — пять. Действительно, в качестве прописного примера заведомой исти­ны обычно приводится равенство 2 × 2= 4. Однако можно формаль­но оценить вероятность того, что на самом деле 2 × 2 = 5, а стан­дартное утверждение 2×2 = 4 есть результат постоянно повторяю­щейся арифметической ошибки. Примем для этого, что каждый человек при выполнении умножения в пределах первого десятка мо­жет с вероятностью 10^–6 ошибочно уменьшить ответ на 1, что соот­ветствует нескольким ошибкам подобного рода за всю его жизнь. Поэтому, если принять, что за всю историю человечества 10¹⁰ лю­дей выполняли умножение 2 X 2 по 10⁶ раз за свою жизнь каждый, то вероятность того, что они всякий раз ошибочно, независимо друг

от друга, уменьшали ответ на 1, равна ≈ . Этот подсчет можно уточнить, но ясно, что при любом разумном уточнении результат получится формально положительным и, по-видимому, не далеким от приведенного.

В качестве «более вероятного» события укажем на пример в книге Дж. Литлвуда [21, с. 117]. Пусть с чемпионом мира играет в шах­маты человек, который совершенно не знает правил игры, но знает только, что, делая очередной ход, он должен либо переставить од­ну из своих фигур на какое-либо — безразлично какое — свободное поле, либо перед этим снять какую-нибудь фигуру противника. Ка­кова вероятность того, что этот «игрок» не только ни разу не нарушит шахматных правил, но и случайно будет попадать на столь хорошие ходы, что в конце концов победит? По проведенной в книге оценке, она не меньше 10^–122.

Думается, что возможными, но крайне мало вероятными следует считать события с вероятностью, скажем, 10^–6—10^–9; это вероят­ность выпадения только гербов при 20—30 бросаниях идеальной монеты. Отметим одно любопытное психологическое обстоятельство. Почему мы при бросании монеты крайне удивляемся, видя, как герб выпал 20 раз подряд, и не удивляемся, видя, что герб и решетка выпали, например, в последовательно­сти грггррргрррггргррргр? Ведь вероятности обоих этих событий одинаковы, они равны 2^–20. Конечно, если мы заранее предсказываем вторую последовательность, и она реализуется, то это в высшей степени удивительно; но, казалось бы, что вы­падение 20 гербов мы не предсказывали заранее? Думается, что здесь дело в под­сознательных экстраполяционных навыках: наиболее простые закономерности че­редования событий являются в нашем сознании как бы заранее зафиксированными, эталонными. Для случая бросания монеты такими эталонными чередованиями слу­жат гггггг..., рррррр..., гргргр... и другие сходные последовательности, которых совсем не так много. Поскольку мы всегда готовы к обнаружению эталона, мы естественно удивляемся, если он появляется, когда интуитивно ощущаемая веро­ятность появления весьма мала.

Аналогичная ситуация может возникнуть при обнаружении закономерности на основе единичного испытания, в результате которого произошло (заранее не предсказанное) весьма мало вероятное событие.

По мере уменьшения вероятности эпитеты, характеризующие степень неожиданности, надо усиливать. Что же касается со­бытий с вероятностью 10^–200 и тем более , лишь формально по­ложительной, то их естественно относить к полностью невозможным. Словом, дважды два — всегда четыре, а не умеющий играть в шах­маты никогда не выиграет у чемпиона мира (12).

Отметим, что подобной точки зрения на возможность и невозмож­ность в конце своей жизни стал придерживаться и Э. Борель [17], изменив свою первоначальную терминологию по этому поводу.

6. О понятии функции. Как известно, в XVIII в., когда возникло это понятие, функция мыслилась заданной обязательно с помощью формулы; говоря на современном языке, допускалось рассмотрение только аналитических выражений. В дальнейшем такой подход ока­зался недостаточным, прежде всего, в связи с рассмотрением кусоч­но-аналитических (в частности, кусочно-линейных) функций. Эти рассмотрения и общий переход к теоретико-множественным взглядам привели в XIX в. к принятому сейчас в чистой математике определе­нию функции как произвольного закона соответствия меж­ду независимыми и зависимой переменными. Такой подход ока­зался полезным для логического обоснования математики, хотя с точки зрения приложений подобное определение является слишком аморфным, расплывчатым.

Право на существование получили такие функции, как, напри­мер, функция Дирихле D(х), равная 0 для иррациональных и 1 для рациональных значений х, а также другие подобные функции, которым трудно придать другой смысл, кроме формально логиче­ского. Функция D(х) не только не имеет графика в обычном пони­мании, но, что самое трудное, ее значение не может быть определено даже с грубым приближением, если значение х известно с какой угод­но высокой точностью. Однако в приложениях функция не есть дез­организованная толпа значений, а представляет собой рабочий ор­ганизм. Сейчас, когда период увлечения патологическими примера­ми в основном прошел, стала особенно ясной роль аналитических функций.

Все же логический анализ понятия функции, проведенный в XIX в., не прошел бесследно и для приложений. Так, функции, заданные несколькими формулами (кусочно-аналитические функции), часто встречаются в приложениях и более не вызывают замешатель­ства; простейшим примером может служить единичная функция Хевисайда

которая появляется при описании внезапного включения какого-либо воздействия или перехода из одной среды в другую и т. п. С помощью единичной функции легко записать любую кусочно-ана­литическую функцию: например, функцию, равную f₁ (х) при х < а и f₂ (х) при х > а, можно записать единой формулой:

Место подобных функций стало еще более ясным после введения в XX в. обобщенных функций — импульсной дельта-функции Ди­рака δ(х) = е'(х) и связанных с ней функций (см., например, [22, гл. VI]), которые сразу же нашли прочное место в приложениях (более того, они и возникли именно в связи с формулировкой при­кладных задач).

Отметим, что в теории случайных процессов типа броуновского движения важную роль играют непрерывные, но нигде не дифферен­цируемые и потому не аналитические функции, описывающие тра­ектории частиц. Однако эти траектории непредсказуемы и неповто­ряемы, и потому такие функции имеют только статистическое, а не индивидуальное значение.

Таким образом, можно сказать, что сейчас в прикладной математи­ке такое индивидуальное значение имеют вообще только анали­тические, кусочно-аналитические и простые обобщенные функции.

Для XX в. характерен еще один подход к понятию функции, общий как для чистой, так и для прикладной математики, именно как к элементу функционального пространства, например пространства Гильберта, т. е. как к члену функционального коллектива. Такой подход имеет во многих задачах разнообразные теоретические и при­кладные преимущества, на которых мы здесь не будем останавли­ваться.

7. Устойчивость относительно изменения параметров. Имеет­ся еще одно важное обстоятельство, которое может послужить пре­пятствием для переноса понятий и методов чистой математики в прикладную. Оно происходит из возможности лишь приближенного задания всех непрерывных параметров, входящих в формулиров­ку любой прикладной задачи.

Пусть речь идет, например, о методе решения какой-либо прикладной задачи. Для того чтобы считать этот метод эффективным, необходимо, чтобы он обладал известной универсальностью, точнее, сохранял свою силу при изменении (хотя бы достаточно малом) па­раметров задачи: это свойство метода можно назвать устойчивостью (13). Здесь понятие устойчивости трактуется в широком смысле, как свойство сохранения всех существенных черт при малых откло­нениях в постановке задачи. В п. II. 2.7 мы еще вернемся к этому об­щему понятию.

Однако, как отлично известно читателю, многие методы в алгеб­ре, в чистом анализе, в теории аналитических функций нередко опи­раются на конкретные арифметические и функциональные соотноше­ния типа равенств между участвующими параметрами, т. е. в ука­занном смысле неустойчивы. Приведем три примера.

В 1971 г. на одном из вступительных экзаменов в Московский авиационный институт было предложено решить уравнение

которое приводится к полному уравнению 4-й степени. Составите­ли задачи предполагали, что экзаменующиеся путем анализа дели­телей свободного члена полученного уравнения сначала найдут два целочисленных корня x_1,2 = 2, после чего дело сведется к решению квадратного уравнения. Этот ход выкладок, конечно, не универса­лен — достаточно заменить коэффициент 20 на 21 или 20,1 и т. д. и описанный прием становится неприменимым. К сожалению, пос­леднее обстоятельство школьникам обычно не разъясняется и мно­гие из них остаются в ошибочной уверенности, что владеют общим методом решения уравнений четвертой степени. Трудно сказать, чего здесь больше — пользы от знания описанного весьма специаль­ного приема или вреда от убеждения в его универсальности.

Вот еще пример того же рода, относящийся к технике интегри­рования дифференциальных уравнений. В известном справочнике Э. Камке указан способ решения дифференциального уравнения

основанный на замене 3у = х² , в результате которой по­лучается весьма простое уравнение 4 (хи' + и)² = 1. Но эта подста­новка приводит к успеху лишь в случае, когда коэффициенты имеют только выписанные выше значения, и совершенно непригодна при произвольных изменениях этих коэффициентов.

Рассмотрим, наконец, так называемый третий случай интегри­руемости системы уравнения вращения твердого тела вокруг не­подвижной точки в однородном поле тяготения. Если принять ука­занную точку за начало координат, оси которых направлены вдоль главных осей инерции тела, и обозначить через х₀, у₀, z₀ координа­ты центра тяжести, а через А, В, С — соответствующие моменты инерции тела, то названному случаю отвечают сугубо специальные соотношения: А = В =2С, z₀ = 0, не выделяющие сколь-нибудь интересную или типичную ситуацию. Установленная для этого слу­чая интегрируемость уравнения движения с помощью ультраэл­липтических функций исчезает при любом нарушении выписанных соотношений. Можно сказать, что используемый здесь метод не­устойчив в указанном выше смысле.

В приведенных примерах рассмотрены случаи вырождения, не имеющие ясной мотивировки и, таким образом, приводящие к неце­лесообразным специализациям.

Выше речь шла об устойчивости математических методов. Однако столь же содержательным и осмысленным является понятие устойчивости математической модели; коротко говоря, устойчи­вой является такая модель, малые изменения параметров которой не вызывают существенных качественных изменений ее свойств (В качественной теории дифференциальных уравнений близкое понятие называется грубостью (структурной устойчивостью)). Эта устойчивость представляет собой одно из важнейших необхо­димых условий адекватности математической модели реальной кар­тине.

Означает ли сказанное выше, что сугубо специализированный анализ частных и вырожденных случаев вообще не представляет ни­какой ценности? Нет, не означает, если не ограничиваться тольк о этим анализом. Дело в том, что анализ специального случая часто несет определенную информацию о всех случаях, достаточно близких к рассмотренному. В частности, такое решение может быть принято за нулевое приближение при решении смежных (в отноше­нии параметров) задач методом возмущений.

Так, пусть в алгебраическом уравнении первого примера свобод­ный член равен 20,1, а не 20. Тогда мы можем принять, что его корни мало отличаются от корней исходного уравнения; например, ко­рень, близкий к значению х = 2, можно найти из соотношения

где Δ — искомая поправка к значению х = 2. Полагая, что Δ мало по сравнению с единицей и удерживая только члены второго поряд­ка малости (линейные члены в этом примере взаимно уничтожают­ся), найдем Δ_l,2 = ± i = 0,224 i, т. е. искомая пара корней равна x_l,2 = 2 ± 0,224i. При необходимости можно продолжить итерации и найти дальнейшие приближения. (Впрочем, и с учетом этого замечания весь класс смежных уравнений, которые могут быть решены таким путем, представляется практически мало интерес­ным.)

Примерно таким же образом обстоит дело и в других вырожден­ных случаях. Короче говоря, результаты применения неустойчиво­го метода приобретают некоторую ценность, если устойчива мате­матическая модель.

В некоторых случаях из разбора вырожденных объектов ока­зывается возможно сделать «устойчивые» выводы о невырожденных ситуациях: так, хорошо известно, что из анализа точек покоя на фа­зовой плоскости можно сделать вывод о характере всех фазовых траекторий. Кроме того, само собой разумеется, что строгое решение всякой изолированной задачи (даже полученное неустойчивым мето­дом) является полезным эталоном для проверки точности каких-либо приближенных, но устойчивых методов решения задач того же класса.

Таким образом, специализации, приводящие к изучению вырож­денных случаев, могут быть и целесообразными, приносящими су­щественную пользу. В особенности это относится к достаточно широ­ким классам практически важных случаев, которые формально сле­дует считать вырожденными по самой постановке физической задачи.

Вообще, в рамках какой-либо общей ситуации, включающей про­извольные параметры, различают разные степени вырождения; степень вырождения равна количеству независимых числовых ра­венств, связывающих эти параметры. Степень вырождения называ­ется также коразмерностью вырожденной ситуации, т. е. размер­ностью, недостающей до полной. Всякое функциональное равенст­во, если есть функциональные параметры, приводит к бесконечной степени вырождения.

В сущности любой, даже весьма широкий класс случаев можно считать вырожденным по отношению к еще более широкому классу.

Так, например, потенциальность системы есть по сравнению с общим случаем признак ее вырожденности (даже коразмерности ∞), так как для потенциальности правые части соответствующей системы дифференциальных уравнений должны удовлетворять опре­деленным соотношениям типа равенств. Но дело в том, что рассмат­риваемый тип вырожденности физически осмыслен и охватывает широкий класс важных задач. При этом изучаемые методы должны быть устойчивыми относительно малых возмущений в классе потенциальных систем.

Другим примером содержательного анализа может служить слу­чай действия периодического возбуждения на механическую систе­му. Конечно, это тоже вырожденный случай, так как реальное воз­действие на механическую систему не может быть точно периоди­ческим как из-за наличия разного рода возмущений, так и из-за ограниченности времени этого воздействия. Тем не менее в подав­ляющем большинстве практических случаев оказывается возможным пользоваться результатами исследования, проведенного в предпо­ложении точной периодичности воздействия. Эта возможность, кото­рая часто принимается без специального анализа, зависит от време­ни установления, а также от структуры и величины возможных воз­мущений.

Одной из важных задач прикладной математики является широ­кий анализ подобных возможностей для разных классов задач.

В этой связи следует признать бесспорную ценность анализа первых двух интегрируемых случаев вращения твердого тела вокруг неподвижной точки:

, (2)

Это также вырожденные случаи (коразмерности 3), но они очень близки многим реальным ситуациям. В первом случае центр тяжести тела совпадает с неподвижной точкой, а во втором случае тело обла­дает осевой симметрией и его центр тяжести располагается на одной вертикали с неподвижной точкой. Анализ этих двух случаев вслед­ствие адекватности математической модели позволил осуществить ряд полезнейших технических устройств гироскопического типа, в которых, разумеется, не достигается абсолютно точное выполнение условий (2). Можно сказать, что эти вырожденные случаи выделя­ются не столько формальным свойством интегрируемости, сколько их подлинной практической важностью.

Эйлерова теория упругой устойчивости также в сущности от­носится к вырожденным системам (отсутствие «неидеальностей»), но ее ценность неоспорима. Эти вырожденные случаи позволяют предсказать свойства реальных систем, если «неидеальности» до­статочно малы, как это в самом деле часто бывает.

Таким образом, исследование вырожденных случаев становится полноценным в прикладном отношении только при отчетливом по­нимании характера вырождения и при наличии соображений, гово­рящих о возможности осмысленных «устойчивых» выводов из этого исследования. К сожалению, это требование в ряде работ (особен­но, чисто математических) опускается, и есть немало работ, по­священных особым случаям высокой степени вырожденности, об­щетеоретическое и прикладное значения которых сомнительны.

Заканчивая на этом обсуждение вопроса об устойчивости отно­сительно изменения параметров, приведем пример неустойчивости математических понятий.

Пусть, например, речь идет о вынужденных колебаниях системы со слабой нелинейностью. Как известно, в таких задачах большое значение имеет соизмеримость или несоизмеримость частоты воз­буждения и частоты свободных малых колебаний. Но свойства со­измеримости и несоизмеримости неустойчивы, ибо они могут нару­шаться при столь угодно малом изменении параметров системы. Как же быть в реальных условиях? Обычно выводы, полученные для соизмеримых частот, считают верными с определенной точностью и в тех случаях, когда отношение частот (возможно, формально иррациональных) близко к отношению небольших натуральных чи­сел (1 : 1, 2: 1, 2 : 3 и т. п.); если же отношение частот равно отно­шению больших натуральных чисел, то применяются результаты исследования несоизмеримого случая. Таким образом, логически точное, но неустойчивое понятие соизмеримости, переходя в приклад­ную математику, трансформируется в несколько расплывчатое, но устойчивое понятие «практической соизмеримости».

В целом, из сказанного выше следует, что неустойчивость мето­дов, моделей и даже самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует изменения подходов при решении прикладных задач.

8. О формальных и неформальных понятиях, об интуитивной убедительности. Различие между чистой и прикладной математикой существенно проявляется в требованиях к однозначной определен­ности применяемых понятий и утверждений. Одним из основных принципов чистой математики является то, что все свойства любого изучаемого понятия должны вытекать только из его формального определения, они как бы потенциально заключены в этом опреде­лении (На этом, в частности, подробно останавливается Г. Штейнгауз в яркой книге [23]. Впрочем, говоря об особенностях математического метода, автор, как это широко распространено, имеет в виду только чистую математику). Соответственно все утверждения должны включать только формально определенные понятия, логические соотношения между которыми полностью предопределяют справедливость или ложность каждого такого утверждения. В частности, в чистой математике все свойства решений задачи потенциально полностью пред­определяются ее формулировкой. Любое изменение формулировки означает переход к новой задаче (конечно, в некоторых случаях эта новая задача может оказаться равносильной предыдущей), поэтому исследование задачи не должно привлекать добавочных предположений и других уточнений, которых не было в ее формули­ровке.

В отличие от этого, в прикладной математике понятия и утверж­дения часто имеют такой же характер, как в нематематических дис­циплинах и даже в обыденной жизни. Прежде всего, могут приме­няться понятия, вообще не имеющие формального определения или имеющие определение, не обладающее полной логической четкостью; об этом мы подробнее скажем в § 3. Но даже если применяется, каза­лось бы, чисто математическое понятие, то за ним все время скрыва­ется тот неформальный объект, который оно идеализирует: оно как бы служит меткой этого объекта и потому включает в себя больше, чем содержится в формальном определении понятия. Например, когда в прикладном исследовании говорится «произвольная функ­ция», то подразумевается «произвольная функция, встречающаяся в данной области приложений» (этим и объясняются различные под­ходы к понятию функции, о которых говорилось в п. 6) и т. п. (14). Это дает возможность в процессе исследования по мере необходимости привлекать дополнительные сведения о рассматриваемых по­нятиях (см. п. 3.2в)…

Со сказанным непосредственно связан вопрос об интуитивной убе­дительности рассуждения или утверждения. Это, конечно, нефор­мальное понятие и как таковое оно безусловно отвергается чистой математикой при окончательном изложении результата. В то же время в прикладной математике именно интуитивная убедительность является важным критерием правильности; мы вернемся к этому вопросу в § 3. В. В. Налимов (в работе Логические основания прикладной математики. Изд-во Московского ун-та, М., 1971, препринт № 24) писал: «Высказывания, сделанные на математическом языке в прикладных задачах, всегда и прежде всего должны обладать интуитивной убе­дительностью — это является их обоснованием. Здесь особенно четко проходит линия разграничения между чистой и прикладной математикой». В отличие от этого в строго построенной дисциплине чистой математики «интуиция была и оста­ется источником, но не конечным критерием истины» [28, с. 316].

9. О различии тенденций в процессе решения. Следующее раз­личие в подходе к решению математической задачи, возникшей из приложений, у чистого математика и у прикладника имеет в зна­чительной мере психологический характер. Чистого математика ин­тересует обычно математический аппарат, применяемый для решения этой задачи, сам по себе, независимо от ее реальной интерпретации. Он склонен максимально возможно обобщить условие задачи, не обращая внимания на то, имеет ли это обобщение физический смысл. Наиболее привлекательными для чистого математика оказываются трудные в математическом отношении задачи и неожиданные, изящ­ные решения, причем соответствующий метод решения может иметь в глазах математика большую ценность, чем сама исходная задача. Поэтому иногда, чтобы получить элегантное решение или просто решение, находящееся на вполне дедуктивном уровне, постановка задачи видоизменяется так, что ее реальный интерес значительно уменьшается или даже полностью пропадает. Довольно типичной яв­ляется также такая картина: некоторый вопрос, сугубо промежуточ­ный для исходной прикладной задачи, начинает самостоятельно из­учаться на дедуктивном уровне, причем направление этого изучения теряет всякую связь с исходной задачей. Часто бывает, например, так. Обнаружено, что для некоторого практически важного события А достаточным (но заведомо не необходимым) является признак В. Этот признак изучается самостоятельно, причем по чисто матема­тическим причинам основное внимание привлекают условия С, необходимые (но недостаточные) для В. Далее могут изучаться ус­ловия достаточные для С и т. д. Но в каком отношении эти условия находятся к событию A?

Естественно, что тенденции прикладника в решении математи­ческой задачи должны быть существенно иные. (Мы пишем «долж­ны быть», поскольку прикладники порой становятся на позиции чистых математиков.) Главным для него является реальное следствие из этого решения, формальные обобщения не представляют осо­бой ценности. Столкнувшись с трудной математической задачей, прикладник предпочитает не искать элегантное решение («Элегантность — для портных», — сказал по этому поводу А. Эйнштейн (по свидетельству Э. Белла) и не ре­шать произвольную формально близкую задачу, а попытаться так видоизменить математическую формулировку исходной задачи, что­бы ее решение оказалось возможным и еще лучше — простым (см. п. 12). Проблема различия тенденций отчетливо видна в математической стати­стике, где происходит как бы непрерывная конкуренция прикладного и теорети­ческого направлений. В. В. Налимов пишет по этому поводу [25, с. 4—5]: «Матема­тическая статистика, или, точнее, ее теоретические основы, развиваются, как пра­вило, математиками, совсем плохо знающими эксперимент. Их логические концеп­ции часто оказываются мало понятными экспериментатору. Сложный, вполне современный математический аппарат, делающий задачи статистики столь привле­кательными для математиков, часто только отпугивает экспериментаторов. С по­зиций экспериментатора нередко наиболее важными и интересными оказываются те аспекты математической статистики, которые с позиций математика кажутся совсем второстепенными. Математики, занимающиеся разработкой математичес­кой статистики, подчас бывают совсем мало озабочены возможностью практическо­го применения их идей и методов».

Аналогично высказывается Т. Мак Рей по поводу применения математики к проблемам управления предприятиями [26, с. 28] «Если научное управление уда­лится в математическую раковину, оно превратится в отрасль математики, а не управления. В настоящий момент имеется тревожная тенденция в этом направле­нии».

10. О математической строгости. Думается, из предыдущего ясно вытекает — это хочется подчеркнуть еще раз,— что нет и не может быть ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности. Уровень строгости различен в различных областях знания и вообще челове­ческой деятельности; он меняется с развитием этих областей, сти­хийно складываясь (в редких случаях более сознательно, например, в математической логике) в связи с их задачами и методами. Это полностью относится и к математике. Общий тезис об относительнос­ти знания проявляется не только в изменении областей познанного и непознанного, но также и в изменении характера самого позна­ния — в том, что признается познанным, какие средства рассуждения при этом допускаются и т. п. Это общее положение при­обретает особенную актуальность при сравнении методов рассуж­дения в чистой и прикладной математике.

Формулировка и доказательства Евклида — эти высшие дости­жения античной строгости и точности — оказались недостаточны­ми в современной чистой математике, хотя уровень их строгости в школьном курсе и сейчас, по-видимому, чрезмерен. Евклид не уточ­нял понятие «между», он считал его само собой разумеющимся и всякий раз, когда современный геометр сослался бы на аксиомы порядка, аксиому Паша (15), аксиомы непрерывности, Евклид рас­суждал на основании здравого смысла. Это не приводило его к про­тиворечиям, и соответствующие логические пробелы, обнаруженные более чем через две тысячи лет, оказались несущественными при построении античной геометрии, равно как несущественны они в школьном курсе математики.

Математику XVIII в. не приходило в голову, что такое, например, утверждение, как теорема Жордана о том, что простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части, может требовать доказа­тельства. Он свободно обходился без современных уточнений поня­тий «линия», «поверхность» и т. п., поскольку наглядное представ­ление об этих понятиях было вполне достаточно для решения ставив­шихся в то время задач. Вполне достаточно такое наглядное пред­ставление и сейчас для прикладной математики, а также для школы (16).

Подобно этому современная чистая математика, основанная на наивной теории множеств, не уточняет важнейшее, центральное для всей этой науки понятие «существует», считает его «само собой разу­меющимся»; манипулирует с понятием завершенной бесконечности на основании «здравого смысла» и т. п. Эти логические пробелы ока­зались несущественными при построении грандиозного здания чис­той математики, они, как это выяснилось эмпирически, не приводят к противоречиям. Привычка к этим пробелам привела к тому, что многие их вообще перестали замечать, что и привело к ложному представлению об абсолютной строгости чистой математики.

По этому поводу И. С. Сокольников [27, с. 13] писал: «Понятие строгости зависит всецело от условностей, диктуемых господствую­щим вкусом, которому и дано на определенный хронологический пе­риод утверждать меру требовательности в определении степени мате­матической строгости. Плодотворные интуитивные концепции пре­образуются обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том, какие понятия следует относить в категорию конце­пций, допускающих определение, и какие остаются неопределимыми, либо путем введения в математические теории новых формально логических процессов, по возможности свободных от противоречий».

Добавим, что в одном хронологическом периоде в разных разде­лах математики могут быть разные понятия строгости в соответст­вии с традициями и целями этих разделов. Так было в период науч­ного Возрождения с геометрией и математическим анализом, позже ослабленные требования строгости были в теории вероятностей; сейчас различные уровни строгости имеются в математической ло­гике, в основной части чистой математики и, как мы увидим в § 3, в прикладной математике.

Утверждение об абсолютной строгости и точности допускает также следующее курьезное, конечно, не решающее возражение. В п. 4 была оценена вероятность того, что равенство 2×2 = 4 есть результат арифметической ошибки. Тем же способом можно оце­нить вероятность и того, что все утверждения чистой математики содержат подобные ошибки; эта вероятность с точки зрения чистой же математики положительна.

Математическая логика находится, конечно, на существенно более высоком уровне строгости, чем основная часть чистой мате­матики. Однако и этот уровень не является абсолютным. Более того, чтение вводных глав иных книг по математической логике мо­жет произвести впечатление, что интуиция в ней играет большую роль, чем в «наивной» чистой математике; но дело просто в том, что многие вопросы, которые в чистой математике считаются само собой разумеющимися, а на самом деле основаны на интуиции, в матема­тической логике специально обсуждаются. Но и в логике многое остается «само собой разумеющимся», хотя грань необъясненного отодвигается вглубь. Так, это относится уже к первым словам курса «рассмотрим», «пусть» и т. п., которые должны быть одинаково по­няты всеми читателями, но насколько универсально понятие «по­нятности»? Однако эти пробелы не мешают математической логике развиваться и успешно решать естественно возникающие в ней про­блемы, многие из которых оказываются существенными для мате­матики в целом.

Еще более важно обратить внимание на следующее. Уровень строгости и весь образ мышления математической логики, несомнен­но, не пригоден для чистой математики в целом, задачи которой выходят за рамки логики, хотя на некоторые из них достижения ло­гики должны существенно повлиять; достаточно вспомнить, напри­мер, выдающиеся результаты о неразрешимости, полученные в последнее время. Так, П.С. Новиков доказал невозможность построения алгоритма для решения одной из центральных проблем теории групп – так называемой проблемы тождества слов. С.И. Адян установил неразрешимость классической проблемы о построении алгоритма, позволяющего для любых двух групп, заданных своими образующими и определяющими соотношения между ними, выяснить, изоморфны эти группы или нет. А.А. Марков доказал неразрешимость знаменитой проблемы топологии о построении алгоритма, с помощью которого можно было установить, эквивалентны ли топологически (т.е. гомеоморфны ли) два заданных тела (точнее, полиэдра). Ю.В. Матиясевич сделал то же для десятой проблемы Гильберта о построении алгоритма, позволяющего для любого алгебраического уравнения с любым числом неизвестных и целочисленными коэффициентами выяснить, имеет ли это уравнение, по крайней мере, одно целочисленное решение.

И в то же время припоминается волнение и край­нее недоумение слушателей на заседании Московского математиче­ского общества во время доклада по математической логике, когда докладчик заявил: «Все функции непрерывны». Позже, когда вы­яснилось, что он имел в виду конструктивно определенные функции, которые только и признаются конструктивной логикой, волнение утихло. Подумать только, что стало бы с современной чистой мате­матикой, если бы из нее были исключены разрывные функции!

Подобным образом уровень строгости и весь образ мышления чистой математики, как уже не раз говорилось (и не раз будет повто­рено в дальнейшем), хотя и применяются в прикладной математике, но не могут ее полностью удовлетворить. Даже когда задача пол­ностью сформулирована на чисто математическом языке, проведе­ние ее исследования на чисто дедуктивном уровне в подавляющем большинстве случаев противоречит принципу оптимальности, ука­занному в п. 1.7, а во многих случаях просто невозможно.

Поэтому математик-прикладник не только имеет право, но обя­зан выбирать уровень строгости и образ мышления, адекватный решаемым им задачам и принципу оптимальности. Эти уровень стро­гости и образ мышления определяются сочетанием дедуктивных и рациональных рассуждений. К обсуждению последних мы обратим­ся в следующем параграфе.

11. Примеры. Первые три примера иллюстрируют различие под­ходов к вопросу о существовании в чистой и прикладной математике. Прежде чем перейти к их изложению, отметим следующее. До сих пор говорилось о причинах, которые порой препятствуют непосред­ственному применению «чистых» результатов в прикладной матема­тике. Вероятно, имеются и другие причины, хотя представляется, что перечисленные пока главнейшие. Вместе с тем во многих слу­чаях «чистое» рассуждение удается перестроить так, что оно стано­вится приемлемым и для прикладной математики: скажем, бесконеч­ную конструкцию заменить на конечную, неэффективное доказа­тельство существования — на эффективное, конструктивное (Доказательство существования некоторого объекта естественно называть конструктивным в прикладном отношении, если из него вытекает точная или при­ближенная конструкция этого объекта, применимая для некоторого разумного класса реальных примеров). Хотя получающиеся при этом решения могут оказаться далекими от оп­тимальных — об этом нередко чистая математика не заботится — но все же это уже решения, которые можно постараться улучшить, а если это не получится, то все-таки это лучше, чем ничего. Если же доказательство превратить в эффективное никак не удается, то все-таки оно может послужить дополнительным стимулом к эф­фективному построению решения (как-то приятней строить решение, если доказано его существование), либо усилить уверенность в правильности другой конструкции решения, полученной без «чис­того» обоснования (это означает, что «чистое» доказательство может служить од­ним из рациональных доводов в защиту правильности решения)…

12. Еще цитаты. В заключение параграфа приведем высказывания различ­ных авторов, непосредственно примыкающие к изложенному материалу, в ос­новном к материалу пп. 8—10 (и частично к § 3).

X. Розенброк и С. Стори, говоря о математическом решении прикладных задач, в своей полезной книге [28, с. 29—30] пишут: «Инженер или математик прежде всего должен помнить, что он использует математику для описания реального мира. Чистый математик никогда не делает этого, а этому искусству учат редко. Любая последовательность математических символов, которую за­писывает математик-прикладник, является в действительности последователь­ностью физических утверждений. Если бы утверждение было на английском языке, то автор серьезно рассматривал бы, верно оно или нет. Он должен быть таким же скрупулезным в проверке справедливости утверждения, которое он сделал в математических символах.

Главное в данном случае (и оно же является источником больших трудностей) то, что математик-теоретик начинает с формулировки задачи, которую он потом не подвергает сомнению. Его единственной целью на протяжении последующих манипуляций является обоснование своих аргументов. Ни одну важную задачу в технике нельзя поставить таким образом. Любое формулирование технической задачи является условным, и если некоторое следствие формулировки задачи не­верно или неприемлемо, то задача должна быть переформулирована. Если любой промежуточный шаг в математической аргументации отображает физически не­верное положение, то результат, полученный с помощью строгих рассуждений из, по-видимому, обоснованной точки зрения, будет, тем не менее, ошибочным.

Математик-прикладник, следовательно, должен учитывать как математичес­кую, так и физическую сторону задачи, связывая одну с другой. Каждая возни­кающая математическая трудность должна вызывать подозрение — свойственна ли она физике, или вызвана ошибкой в формулировании, или просто является математической трудностью, которую можно избежать другой формулировкой?»

Д. Хорафас [29, с. 13]: «В самом широком плане математику можно разде­лить на две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело с симво­лами, их комбинациями и свойствами в формализованном виде. Математики, ве­дущие исследования в другой области, интересуются значением символов, т. е. смысловым содержанием теории, связанной с реальным миром». Это и есть схематическое определение чистой и прикладной математики. Мы бы добавили, что при этом здесь дело не в области приложений: прикладная математика изучает мето­ды привлечения неформальных соображений к решению формализованных задач, а конкретной областью приложений определяются классы этих задач и этих со­ображений. Было бы интересно провести сравнительный в этом отношении ана­лиз различных областей приложения математики (механики, физики, химии, тех­ники, биологии, экономики и т. д.). При этом выявятся как специфика этих об­ластей, так и то общее, что характерно для приложения к ним математики.

М. Кац и С. Улам [1, с. 167—168]: «Некоторые из современников Хевисайда критиковали его за использование формальных приемов без ясного понимания их содержания и смысла. Говорят, что в ответ своим критикам Хевисайд как-то сказал: «Должен ли я отказаться от хорошего обеда лишь потому, что не понимаю процессов пищеварения?» Подобным образом можно было бы критиковать шести­классника, который учится пользоваться дробями, не понимая лежащей в основе теории.

Мы остановились на этом потому, что здесь хорошо видна одна из сильных (надо было бы сказать «ведущих» и т. п.— Авт.) тенденций современной математи­ки: игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически. Именно эта тенденция (начинающая проникать в начальное и среднее обучение) в большой сте­пени ответственна за растущее отделение математики от физики. Физик, применя­ющий математические методы, вполне может положиться на внутреннюю согла­сованность своих построений и, что самое важное, на совпадение полученных ре­зультатов с экспериментом. Подобно шестикласснику, он будет рад воспользо­ваться рациональными числами, не зная во всех подробностях, как их можно объ­единить в формальную систему, и, подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать операторами, не дожидаясь, когда логика даст ему разрешение на это». Кстати, именно Хевисайду удалось найти решения практически важных задач в слу­чаях, когда применить логически полностью обоснованную в то время методику оказалось затруднительно. Позже аналогичная история произошла с обобщен­ными функциями (п. 6), которые физики ввели и начали использовать раньше, чем математики дали им формально совершенное обоснование.

Г. Ван Трис пишет в предисловии к своей книге [30, с. 11—12]: «Уровень математической строгости книги невысок, хотя в большинстве разделов полученные результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто более скрупулезны в наших выкладках. Мы намеренно приняли такой подход с тем, чтобы оби­лием деталей не обременять существенные идеи и сделать материал удобочитае­мым для той инженерной аудитории, которая найдет его полезным. К счастью, почти во всех случаях мы можем удостовериться, что наши выводы являются интуитивно логичными. Следует заметить, что эта способность проверять выводы интуитивно была бы необходима, даже если бы выкладки были весьма строгими, поскольку наша конечная цель — получить ответ, который соответствует некото­рой рассматриваемой физической системе. Не представляет труда найти физичес­кие задачи, в которых правдоподобная (но неадекватная, см. § II.1.—Авт.) математическая модель и корректные математические методы приводят к не­реалистическому решению исходной задачи».

Л. де Бройль [31, с. 326]: «Математический язык является чисто дедуктивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его силой, является также его слабостью, поскольку она замыкает его в круг, за пределы которого он не может выйти. Математическое рассуждение должно установить следствия, которые уже содержатся в посылках, не будучи еще очевид­ными; следовательно, оно не может дать в своих выводах ничего более того, что содержится неявно в исходных гипотезах... Итак, не чистые дедукции, а сме­лые индукции и оригинальные представления являются источниками высокого прогресса науки».

X. Розенброк и С. Стори [28, с. 17, 31 и 41]: «Мы не против математической строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные внутренние зако­ны развития, возражаем против позиции, которая концентрирует внимание на ма­тематических тонкостях, возникающих при постановке задачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности». «Инженер должен не гнаться за строгостью как вещью в себе и избегать большой борьбы за общность и краткость. Слишком, общая формулировка обычно сводит решение к задаче, менее легкой и менее полезной. Краткость (или «элегантность») - это хорошо, однако часто она получается только за счет искусственности». «Инже­нер... не позволяет ставить в один ряд все те проблемы, которые представляют какой-либо интерес. Математические выкладки оправдываются в его глазах их практическим успехом таким же образом, как и физические теории, к кото­рым эта математика применяется. Вследствие этого различия в подходе аксиома­тический метод мало привлекателен для инженера. Он соглашается признать, что 2+2 = 4, потому что это приводит к полезным результатам, и не чувствует необходимости доказывать это утверждение с помощью ряда менее очевидных аксиом. В то же время не возражает против введения новых фактов в задачу по мере решения. Если новый факт верен, то он не может быть источником ошибок в ре­зультате».

Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [7, с. 144] в связи с приложениями математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения уравнений нужны некоторые дополнительные условия или допущения, либо их трудно решить именно в той форме, в какой они представлены. В этом случае математик может ввести дополнительные ограничения или произвести некоторые изменения, поз­воляющие решить эти уравнения. Но может оказаться, что произведенные им изменения не соответствуют духу первоначальной биологической задачи, и в ре­зультате будет затрачено много сил на сложные, но бесполезные математические расчеты в поисках точного решения ошибочной задачи. Для того чтобы математик узнал, что именно в конечном счете допустимо с точки зрения биологии, он дол­жен проявить интерес к самой биологической задаче и познакомиться с ней во всех деталях».

В своей эмоциональной речи на конференции Американской ассоциации эко­номистов президент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем увлечении формальными схемами экономики, в частности, сказал [37, с. 101 - 104]: «Некри­тическое увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за вну­шительным фронтом алгебраических символов скрываются положения легковес­ные с точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из недавних президентов Общества эконометриков: «...есть что-то скандальное в зрелище, ко­торое представляет такое большое количество людей, занятых оттачиванием ана­лиза экономических ситуаций, относительно которых у них нет никаких основа­ний полагать, что они когда-либо будут иметь место в действительности... Это не­удовлетворительное состояние дел, в котором есть даже что-то бесчестное». И до­бавляет: «Увлеченность воображаемой, а не данной в наблюдениях реальностью привела к искажению неофициальной шкалы ценностей, по которой в наших акаде­мических кругах оценивают научные достижения. Эмпирический анализ оцени­вается теперь ниже, чем формальное математическое доказательство... И все это происходит, несмотря на то, что в очень многих случаях сложный статистический анализ осуществляется на базе массива данных, точное значение и надежность которых неизвестны автору или, напротив, так хорошо известны, что в самом кон­це он предупреждает читателя не принимать всерьез фактическую сторону выво­дов данного «упражнения» ... не удивительно, что экономисты младшего поколения, особенно те, которые заняты преподавательской деятельностью и теоретическими исследованиями, по-видимому, вполне удовлетворены нынешним состоянием дел: они могут демонстрировать свою доблесть (и, между прочим, делать карьеру), создавая все более сложные математические модели и изобретая все более изощ­ренные методы статистических преобразований, совершенно не принимая участия в эмпирических исследованиях. Время от времени раздаются жалобы на отсутствие необходимых первичных данных, но в них не заметно особой тревоги».

В. В. Налимов [25, с. 195]: «За рубежом нередко кафедры математической статистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики, но не имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою деятельность. Нужно давать темы для дипломных и диссертационных работ. Появляются проб­лемы, сформулированные в терминах прикладных задач, но в действительности не имеющие прикладного значения. Разработка этих проблем требует высокого математического мастерства и может служить хорошим основанием для поддер­жания престижа на высоком уровне. Однако найденные решения не имеют большой ценности с позиций математики, так как они носят очень частный характер. Их пытаются представить как глубокую теоретическую разработку практически важной проблемы. Но на самом деле они не имеют прикладного значения из-за нереалистичности в постановке задачи. Так возникает ненужная теоретизация».

М. Кац и С. Улам [1, с. 210—211 ]: «Никакая из рассматривающихся до сих пор формальных систем не дает адекватного воплощения того представления о бес­конечном, которого бессознательно придерживаются математики: можно даже от­важиться на гипотезу, что такая формальная система вообще невозможна:». «Работа над основаниями всей математики в целом привела к от­рицательному результату, ибо она выявила слабые стороны аксиоматического ме­тода. (Мы бы не сказали, что это отрицательный результат.— Авт.) В теории множеств она породила серьезные сомнения в существовании формальных систем, способных дать такое описание, которое отвечало бы представлению математика о множествах». Противопоставляя этому конструктивные результаты работы над основаниями геометрии, Кац и Улам заключают: «Трудно избежать искушения и не сделать из этого вывод, что существует какое-то неопределяемое глубокое различие между проблемой аксиоматизации отдельной ветви математики, обязан­ной своим происхождением внешним стимулам, и проблемой аксиоматиза­ции внутренних процессов мышления».

С. А. Яновская [35, с. 249]: «...математическая, или логическая, «строгость» с а м а п о с е б е отнюдь не является еще гарантией истинности и надежности науки. Нетрудно привести примеры, где строгая последовательность выводов могла принести — и действительно принесла — только вред прогрессивному развитию науки».

В. В. Налимов [25]: «Если математика в прикладных задачах выступает в роли языка, то математические структуры этого языка естественно рассматривать как грамматику этого языка. Можно задать вопрос — нужно ли хорошо знать грамма­тику тому, что хочет воспользоваться языком в чисто прагматических целях? По-видимому, не нужно, во всяком случае, на обыденном языке можно разгова­ривать, не зная его грамматики».

Дж. Коул [38, с. 9]: «Настоящая книга написана в основном с точки зрения математика-прикладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математи­ческой строгости; при этом использовались самые разнообразные средства. В част­ности, для выяснения существа различных вопросов часто приходилось обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные приближения».

Примечания

1. При перечислении точек зрения в пп. 6 и 7 использованы, в частности, уст­ные высказывания М. А. Красносельского.

2. Вот одно из наиболее крайних выражений этой позиции: «Математика есть создание чистого разума и поэтому не нуждается в связях с другими сфера­ми деятельности человека» (Л. Морделл. Размышления математика. «знание», М., 1971, с. 28).

Приведем еще высказывание Ж. Дьедонне по этому поводу: «...в принципе современная математика в основе своей не имеет какой-либо утилитарной цели, а представляет собой интеллек­туальную дисциплину, практическая польза которой сводится к нулю ...ма­тематик в своих исследованиях никогда не руководствуется мыслью о степени полезности полученных результатов в будущем (что, впрочем, и невозможно пред­сказать), скорее он руководствуется желанием проникнуть в понимание матема­тического явления, как явления, заканчивающегося на себе самом ... математика — не более чем «роскошь», которую может позволить себе цивилизация» (цитируется по Сойер У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972, с. 18). Грустно, что это говорит человек, являющийся одним из руко­водителей группы «Бурбаки», оказывающей значительное влияние на лицо всей современной чистой математики...

3. В связи с этим приведем слова Дж. Диксона: «Если мощные математические методы не позволяют получить результат (иногда это бывает), то все равно нужно продолжать поиск. Имейте в виду, что при инженерном анализе необходим о получить числовой результат любым способом».

4. Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что понятия «приклад­ное исследование», «прикладной раздел» и т. п. являются относительными; это порой приводит к различным недоразумениям, например, к тому, что прикладни­ками (соответственно теоретиками) называют себя люди, которые друг друга от­нюдь таковыми не считают. Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать как прикладными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций), так и чисто математическими (скажем, с позиций инженера). Конечно, такая отно­сительность понятия «прикладного» имеет место также в физике, механике и дру­гих дисциплинах.

5. Н. С. Бахвалов [11, с. 11]: «...есть разница в подходе «чистого» и «приклад­ного» математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие решить задачу означает доказать существование решения и предложить процесс, сходящийся к решению. (Даже последнее иногда считается необязательным. — Авт.) Сами по себе эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс получения приближения не требовал больших затрат, например, времени или памяти ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится».

6. Впрочем, Дон Кихот не очень заботился о предварительном доказатель­стве соответствующей теоремы о существовании врагов, а сразу бросался в бой.

7. Этот закон гласит, что для каждого утверждения, осмысленного в рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его отрицание. Обозначив буквой p это утверждение, можем написать: верно (p или (не p)). Закон исключенного третьего близок, хоть и не равносилен, закону двойного отрицания: из (не (не p)) вытекает p, а также закону противоречия: неверно (p и (не p)). В дальнейшем, упоминая закон исключенного третьего, мы будем иметь в виду все три закона. Чистая математика (за исключением некоторых ветвей математической логики) пользуется ими без ограничений.

8. К. Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория, вытекающая по определенным правилам математической логики из некоторой системы аксиом, всегда неполна; это означает, что в терминах такой теории можно сформулировать предложение, справедливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой теории, т.е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту справедливость или ложность можно принять в качестве добавочной аксиомы, присоединив которую к исходным, можно построить более детализованную теорию, которая, однако, будет опять неполной, и т.д. Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории также не может быть доказана в рамках этой теории.

9. Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных еще не вводит в прикладную математику бесконечности, так как область изменения таких переменных выступает в приложениях не как набор точек, а как первичный объект (например, интервал времени).

10. Мы не удержались поставить это слово в кавычки, хотя самого Скьюиса они, вероятно, обидели бы.

11. Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать негодова­ние; мы надеемся, что наши читатели не соблазнятся легкой возможностью высказать тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения «точно» и даже «абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют отно­сительный характер; см., например, рассмотрение равенства 2 × 2 = 4 в п. 4,

Несколько утрируя, можно сказать, что если 2 × 2 = 4, то .

12. Тем, кто возражает: «Но встречаются же крайне маловероятные события: например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не видел 20 лет, неза­висимо взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить полную несравни­мость вероятностей этого и указанных выше событий. Не следует уподобляться свахе из «Последней жертвы» А. Н. Островского, которая о каждом женихе говорила: «У него миллион», и простодушно пояснила: «Для меня все, что больше тысячи, то миллион».

13. Параметр — это не обязательно скаляр, это может быть вектор или даже элемент функционального пространства. Например, для дифференциального уравнения всю правую часть можно рассматривать как функцио­нальный параметр. Поэтому метод, применяемый к реальной задаче, описывае­мой указанным дифференциальным уравнением, должен быть устойчивым относи­тельно произвольной достаточно малой вариации правой части.

14. В книге [35, с. 52—53] приведен остроумный пример того, как утвержде­ние, истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится ложным, так как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим больше, чем содержится в их формальном определении: «Представим себе, что один из наших знакомых на вопрос, когда он уедет из города, ответит, что он собирается сделать это сегодня, завтра или послезавтра. Если мы впоследствии убедимся в том, что еще до нашего вопроса им было уже решено уехать в тот же день, у нас, вероятно, создается впечатление, что мы были намеренно введены в заблуждение и что он солгал нам».

15. Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая не проходит через вершины некоторого треугольника и пересекает какую-либо из его сторон, то она пересечет и какую-либо из других сторон этого треугольника.

16. Яркое описание исторического уточнения понятия многогранника содер­жится в книге И. Лакатоса [36]. Сравнивая это уточнение с затачиванием каран­даша, автор пишет (с. 73): «Во-первых, ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание ка­рандаша не является творческой математикой». Отметим одну из высказываемых им точек зрения (с. 76): «Не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строги­ми». Говоря подробно об эволюции понятия строгости, автор отмечает (с. 80): «Различные уровни строгости отличаются только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм».

Литература

1. Кац М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы. М., Мир, 1971.

2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1. Гостехиздат, м., 1935.

3. Пуанкаре А. Ценность наук. М., 1906 ИЗМЕНИТЬ ГОД

4. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. «Наука», М., 1970.

5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 2. Гостехиздат, М – Л., 1935.

6. Математика в современном мире. «Мир», М., 1967.

7. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. «Мир», М., 1970.

8. Новожилов В.В. Этажи математики. «Известия», 17 января 1971.

9. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г., Правдоподобность и доказательность в прикладной математике. «Инж. Журн. Механика твердого тела», 1967, 2, 196-202.

10. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. «Мир», М., 1969.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы, 1. «Наука», М., 1973.

12. Вейль Г. О философии математики. 1934 ИЗМЕНИТЬ

13. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм – теория доказательства. Гостехиздат. М., М. – Л., 1936.

14. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. Гостехиздат, М. – Л., 1947.

15. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда. «Усп. Матем. наук», 1973, 28, 4, 243-246.

16. Петров Ю.А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. «Наука», М., 1967.

17. Борель Э. Вероятность и достоверность. Физматгиз, М.,1961.

18. Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными? «Усп. Физич. наук», 1971, 103, 1, 87-119.

19. Эшби Р. Несколько замечаний. В кн.: Общая теория систем. «Мир», М., 1966, 171-178.

20. Колмогоров А.Н. Автоматы и жизнь. «Техника молодежи», 1951, 10, 19.

21. Литлвуд Дж. Математическая смесь. Физматгиз, М., 1962.

22. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. «Наука», М., 1972.

23. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. «Мир», М., 1974

24. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. ИЛ, М., 1957.

25. Налимов В.В. Теория эксперимента. «Наука», М., 1971.

26. McRae T. Analytikal management. N. Y., 1970.

27. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и механике сплошных сред. «Наука», М., 1971.

28. Розенброк Х., Стори С. Вычислительные методы для инженеров-химиков. «Мир», М., 1968.

29. Хорафас Д.н. Системы и моделирование.»Мир», М., 1967.

30. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, 1, «Сов. Радио», М., 1972.

31. Бройль Л. Де По тропам науки. ИЛ, М., 1962.

32. Морделл Л. Размышления математика. «Знание», М., 1971.

33. Сойер У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972

34. Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие решений. «Мир», М., 1969.

35. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. ИЛ, М., 1948.

36. Лакатос И. Доказательства и опровержения. «Наука», М. 1967.

37. Леонтьев В. Теоретические допущения и ненаблюдаемые факты. «США – экономика, политика, идеология», 1972, 9,

38. Коул Дж. Методы возмущения в прикладной математике. М., Мир, 1972.

Вопросы для понимания

1. Приведите аргументы «за» и «против» точек зрения – а) к математике относятся только чисто дедуктивные построения; б) к математике относятся и практические методы решения задач, приходящих извне математики; в) математика охватывает как дедуктивные области, так и приложения (построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные и иные рациональные рассуждения и т.д.)

2. Есть ли объективные основания считать прикладную математику «недоматематикой»? Надо ли ждать, что когда-либо она возвысится до нормального математического уровня? Что заставляет физиков, инженеров-теоретиков и других специалистов отказываются от дедуктивных методов в математике и переходить на язык прикладной математики, перестраивая весь образ математического мышления?

3. В чем состоит специфика математического решения прикладных задач?

4. Как понимают «существование» математического объекта в чистой и прикладной математике?

5. Приведите примеры, когда в прикладных исследованиях понятие бесконечности существенно меняет смысл по сравнению с чистой математикой.

6. Как по-разному трактуют число в чистой и прикладной математике?

7. Что такое паразитные результаты в чистой математике? Почему возрастает их доля в математике? Можно ли без риска отсекать эти результаты?

8. События с какой положительной вероятностью считаются в прикладной математике невозможными?

9. Функция как произвольный закон соответствия между зависимыми и независимой переменной. Чем такое понимание функций в чистой математике не устраивает прикладную математику?

10. Поясните утверждение, что неустойчивость методов, моделей и даже самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует изменения подходов при решении прикладных задач.

11. Как задаются понятия в чистой и прикладной математике?

12. Какова роль интуитивной убедительности (интуиции) в чистой и прикладной математике?

1 Открытие иррациональности традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гиппасу. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдра (см.[14], с.82). Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики А.Сабо (см.[15]), в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций.