1. Теория вероятностей. Задача №1.

В аналитическом отделе фирмы 8 менеджеров и 12 финансистов. Для выполнения задания случайным образом из списка выбирают 3 человек. Найти вероятность того, что менеджеров среди них будет:

а) ровно два;

б) не менее одного.

Решение:

а) Пусть событие А состоит в том, что двое из трех случайно выбранных сотрудников фирмы являются менеджерами.

Производится опыт, который заключается в случайном выборе 3 сотрудников фирмы из их общего числа. Исходы при данном опыте являются равновозможными, так как нет никаких оснований утверждать, что какой-либо из сотрудников может быть выбран с большей вероятностью. И так как, все исходы являются несовместными событиями, ибо появление одного какого-либо сотрудника в данном опыте исключает появление других. Так же, какой-либо из сотрудников, менеджер или финансист, по условиям опыта обязательно будет выбран. Таким образом, совокупность всех исходов представляет собой полную группу событий. Поэтому, при решении данной задачи необходимо воспользоваться формулой классической вероятности:

,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n – общее число равновозможных элементарных

Искомая вероятность равна отношению числа исходов благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных элементарных исходов:

n=

m=

;

Ответ:

б) Пусть событие B состоит в том, что из случайно выбранных трех сотрудников окажется не менее одного менеджера.

Существует событие , которое состоит в том, что ни один из трех случайно выбранных сотрудников не окажется менеджером, т.е. три случайно выбранных сотрудника окажутся финансистами. Событие является противоположным по отношению к событию B. Таким образом, сумма вероятностей данных событий равна единице: . Отсюда следует, что .

Вероятность появления события (трое случайно выбранных сотрудников являются финансистами) равно отношению числа исходов, благоприятствующих событию , к общему числу равновозможных элементарных испытаний.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию (трое случайно выбранных сотрудника являются финансистами): трех финансистов можно выбрать из их общего числа (т.е. из тринадцати) способами.

Отсюда следует

;

.

Искомая вероятность

;

;

Ответ: .

Задача №2.

Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 18/100. Для второго клиента вероятность такого обращения равна 23/100. Для третьего

клиента – 13/100. Найти вероятность того, что в течение года в страховую

компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов – события независимые.

Решение:

Пусть событие F состоит в том, что в течение года в страховую компанию обратится хотя бы один клиент.

Требование – хотя бы один из трех клиентов обратится в страховую компанию – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих событий: B – первый клиент обратится, C – второй клиент обратится, D – третий клиент обратится. Данные три события являются совместными, т.е. событиями, для которых наступление одного из них не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. любые из трех клиентов могут обратиться в страховую компанию вместе.

Таким образом, событие F можно представить в виде суммы событий: . Воспользуемся теоремой сложения вероятностей совместных событий. Для этого необходимо вывести теорему сложения вероятностей для трех совместных событий.

Сведем сумму трех событий к сумме двух событий:

.

Воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух событий:

.

Применим теорему сложения вероятностей двух совместных событий дважды (для событий B и C, а также для событий BD иCD):

.

Учитывая, что , окончательно получаем

;

Ответ: .

Задача №3.

В консультационной фирме 24% сотрудников получают высокую заработную плату. Известно также, что женщины составляют 43% сотрудников фирмы, при этом 6,7% сотрудников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можно ли утверждать, что в консультационной фирме существует дискриминация женщин в оплате труда? Ответ объяснить, сформулировав решение задачи в терминах теории вероятности.

Для решения задачи необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник имеет высокую заработную плату, при условии, что данный сотрудник является женщиной. Т.е. данная вероятность является условной вероятностью события A.

Воспользуемся теоремой умножения вероятностей:

;

;

.

Необходимо сравнить и . Поскольку , то можно утверждать, что женщины, работающие в консультационной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

Ответ: Да, можно утверждать, что существует дискриминация женщин в оплате труда.