Магнитостатика Движение частиц в магнитном поле

1. Заряженная частица движется в однородных взаимноперпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость v₀ перпендикулярна Е и В. Чему будет равно отношение изменения кинетической энергии к начальной кинетической энергии частицы в те моменты, когда вектор ее скорости будет перпендикулярен v₀, если известно, что Е/(v₀В) =  « 1.

2. Заряженная частица движется в однородных взаимноперпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый момент времени ее скорость v₀ перпендикулярна Е и В, при этом выполняется соотношение Е/(v₀B) « 1 (см. рисунок). В те моменты времени, когда скорость частицы направлена в противоположную сторону к v₀, отношение изменения кинетической энергии частицы к ее начальной кинетической энергии равно . Определить отношение Е/(v₀B).

69. Пройдя ускоряющую разность потенциалов V = 3,5210³ В, электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,01 Tл перпендикулярно линиям индукции и движется по окружности радиуса r = 2 см. Вычислить отношение заряда электрона к его массе.

70. Пучок однократно заряженных положительных ионов Li⁺ (A = 6) испускается эмиттером «Э». Ионы ускоряются электрическим полем и, пройдя разность потенциалов V = 3000 В, попадают в камеру с поперечным магнитным полем B = 310^-2 Тл. Найти величину отклонения пучка Н. Длина камеры L = 15 см. Заряд электрона e = 1,610^-19 К, масса протона m = 1,6710^-24 г.

71. Электрон влетает в однородное магнитное поле индукции В. В точке A он имеет скорость v которая составляет с направлением поля угол . При каких значениях индукции магнитного, поля электрон окажется в точке Б. Заряд электрона е, масса m; расстояние AБ = L.

72. Заряженные частицы ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл и частотой ускоряющего напряжения f = 7,5 Мгц. Пучок ускоренных частиц со средним током J = 1 тА выводится с орбиты радиуса R = 1 м. На сколько градусов будет повышаться температура воды, охлаждающей «ловушку», в которой тормозятся частицы, если расход воды Q = 1 литр/сек.?

73. Заряженные частицы ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с частотой ускоряющего напряжения f = 8 Мгц. Пучок ускоренных частиц со средним током J = 1 mA выводится с орбиты радиуса R = 1 м. Чему равна индукция магнитного поля В, если известно, что температура воды, охлаждающей «ловушку», в которой тормозятся частицы, повышается на 6° при расходе воды Q = 1 литр/с.

74. Электрон со скоростью v = 10⁹ см/с влетает в область однородного магнитного поля индукции В = 10^-3 Т л (рис. 21). Вектор скорости v перпендикулярен силовым линиям поля. Определить величину максимального проникновения электрона в область магнитного поля h. Удельный заряд электрона e/m = 1.7610¹¹ К/кг, угол падения  = 30°.

Индукция в постоянном поле (перемычки)

1. Длинная и тонкая незаряженная пластинка из немагнитного металла движется с постоянной скоростью v = 11,3 м/с в однородном поле с индукцией B = 1 Тл. Векторы В и v взаимно перпендикулярны и параллельны плоскости пластинки. Определите поверхностную плотность электрических зарядов  на плоскостях пластинки, возникающих вследствие ее движения.

2. Между плоскими пластинами площадью S, расстояние между которыми d, движется со скоростью v плоскопараллельная проводящая пластина толщиной d/2. Вдоль пластин перпендикулярно v действует постоянное магнитное поле В. Определить напряжение на конденсаторе емкостью С, соединенным с пластинами как показано на рисунке.

3. Между плоскими пластинами площадью S, расстояние между которыми d, движется плоскопараллельная проводящая пластина толщиной d/3. К пластинам подсоединен конденсатор емкостью С, вдоль пластин перпендикулярно направлению движения пластины действует магнитное поле В. С какой скоростью движется пластина, если напряжение на конденсаторе С равно U?.

4. Для измерения скорости течения диэлектрической жидкости (относительная диэлектрическая проницаемость ) ее пропускают между пластинами изолированного плоского конденсатора. Перпендикулярно скорости и параллельно обкладкам направлено магнитное поле В. Определить скорость жидкости, если напряжение между обкладками оказалось равным V. Расстояние между обкладками d.

5. Диэлектрическая жидкость (относительная диэлектрическая проницаемость ) протекает между пластинами изолированного плоского конденсатора со скоростью v. Перпендикулярно скорости и параллельно обкладкам направлено магнитное поле В. Определить напряжение между обкладками конденсатора. Расстояние между обкладками d.

6. Проволочной квадратной рамке длиной, равной 4а, и массой т сообщают в горизонтальном направлении начальную скорость V₀. Рамка движется в вертикальной плоскости, все время находясь в магнитном поле, перпендикулярном плоскости рамки. Индукция поля меняется по закону B(Z)=B₀ - KZ, где К - постоянный коэффициент. Сопротивление рамки равно R. Через некоторое время рамка начинает двигаться с постоянной скоростью. Найти установившуюся скорость рамки. Ускорение свободного падения g.

7. Проволочной квадратной рамке длиной 4a и массой m сообщают в горизонтальном направления некоторую начальную скорость. Рамка движется в вертикальной плоскости, все время находясь в магнитном поле, перпендикулярном плоскости рамки. Индукция поля меняется по закону В(z) = В₀ + Кz, где К - постоянный коэффициент. Сопротивление рамки равно R. Через некоторое время рамка начинает двигаться с постоянной скоростью v. Найти начальную горизонтальную скорость рамки. Ускорение свободного падения g.

8. Из идеального проводника изготовлен угол. По сторонам этого угла скользит стержень так, что он остается все время перпендикулярным к биссектрисе. Сечение стержня S = 1 мм², удельное сопротивление  = 510^-7 Омм. Перпендикулярно плоскости угла направлено однородное магнитное поле В = 1 Тл. Определить силу тока в цепи A₁A₂A₃, если проводник двигают с постоянной скоростью u = 5 м/с.

9. Из идеального проводника изготовлен угол. По сторонам этого угла скользит стержень так, что он остается все время перпендикулярным к биссектрисе угла. Сечение стержня S = 1 мм², удельное сопротивление  = 2,110^-7 Омм. Оказалось, что если проводник двигать с постоянной скоростью u = 2 м/с, то сила тока в цепи A₁A₂A₃ I = 5 А. Определить величину индукции однородного магнитного поля В, направленного перпендикулярно плоскости угла.

10. Два одинаковых проволочных кольца радиуса R движутся поступательно в одной плоскости навстречу друг другу вдоль прямой, проходящей через их центры, в однородном магнитном поле с индукцией равной В и направленной перпендикулярно плоскости колец. Найти направления и абсолютные величины сил, действующих на кольца со стороны магнитного поля, в тот момент, когда скорости колец равны V, а угол  = /3. В точках касания колец а и б имеется хороший электрический контакт. Электрическое сопротивление проволоки кольца длиной, равной длине окружности кольца, равно r. Индуктивностями колец пренебречь.

11. Два одинаковых проволочных кольца радиуса R и массы m каждое находятся во внешнем однородном магнитном поле, индукция которого равна В₀ и направлена перпендикулярно плоскости колец. В точках соприкосновения а и б кольца имеют хороший электрический контакт. Угол  равен /3. Какую скорость приобретет каждое кольцо, если выключить внешнее магнитное поле? Электрическое сопротивление проволоки кольца длиной, равной длине окружности кольца, равно r. Индуктивности колец не учитывать. Смещением колец за время выключения поля и трением их друг о друга пренебречь.

12. Два одинаковых проволочных кольца радиуса R находятся в области однородного магнитного поля, индукция которого перпендикулярна плоскости колец. Известно, что если одно кольцо неподвижно, а скорость поступательного движения другого равна V и направлена вдоль прямой, проходящей через их центры, то при  = /2 сила, действующая на каждое кольцо со стороны магнитного поля, равна F. Определить величину индукции магнитного поля. В точках касания колец а и b имеет место хороший электрический контакт. Электрическое сопротивление проволоки кольца длиной, равной длине окружности кольца, равно r. Индуктивностями колец пренебречь.

13. Два неподвижных одинаковых проволочных кольца радиусом R и массой m каждое в точках касания а и б имеют хороший электрический контакт. Угол  равен /2. Происходит включение внешнего однородного магнитного поля, вектор индукции которого перпендикулярен к плоскости колец. К моменту установления магнитного поля каждое кольцо приобрело скорость V. Определить абсолютную величину вектора установившейся индукции магнитного поля. Электрическое сопротивление проволоки кольца длиной, равной длине окружности кольца, равно r. Индуктивности колец не учитывать. Смещение колец за время включения поля и трением друг о друга пренебречь.

14. Неподвижное проволочное кольцо расположено в однородном магнитном поле, линии индукции В которого перпендикулярны плоскости кольца. По кольцу скользит со скоростью v (без нарушения электрического контакта) проволочная перемычка РР' (v  РР'). Определить направление и силу индукционного тока в кольце и в перемычке в тот момент, когда перемычка пересекает центр кольца, как это изображено на рисунке. Кольцо и перемычка выполнены из одного куска проволоки с удельным электрическим сопротивлением  и площадью поперечного сечения S.

15. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположен в однородном магнитном поле, линии индукции В которого перпендикулярны к плоскости рисунка. По перемычке скользит в плоскости рисунка проволочное кольцо со скоростью v (v  РР') без нарушения электрического контакта. Определить направление и силу индукционного тока в кольце и в перемычке в тот момент, когда центр кольца пересекает перемычку. Кольцо и перемычка выполнены из одного куска проволоки с удельным электрическим сопротивлением  и площадью поперечного сечения S.

16. Неподвижная проволочная квадратная рамка расположена в однородном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны к плоскости рамки. По рамке скользит без нарушения электрического контакта проволочная перемычка РР' со скоростью v (v  РР'). В тот момент, когда перемычка пересекает центр квадрата, по ней течет ток силой I. Определить величину и направление индукции магнитного поля. Рамка и перемычка выполнены из одного куска проволоки с удельным электрическим сопротивлением  и площадью поперечного сечения S.

17. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположена в однородном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны к плоскости рисунка. По перемычке скользит в плоскости рисунка проволочная квадратная рамка со скоростью v (v  РР') без нарушения электрического контакта. В тот момент, когда центр рамки пересекает перемычку, по ней течет ток силой I. Определить направление и величину индукции магнитного поля. Рамка и перемычка выполнены из одного куска проволоки с удельным электрическим сопротивлением  и площадью поперечного сечения S.

18. Квадратную проволочную рамку с длиной стороны а и сопротивлением R протягивают с постоянной скоростью v через зазор электромагнита. Магнитное поле в зазоре однородно, и его индукция равна В. Плоскость рамки перпендикулярна В. Пренебрегая краевыми эффектами, определить, какое количество теплоты выделится в рамке, если сторона рамки a меньше продольного размера зазора b, а поперечный размер l > а.

19. Квадратную проволочную рамку о длиной стороны a и сопротивлением на единицу длины  протягивают с постоянной скоростью через зазор электромагнита. При этом в рамке выделяется количество теплоты, равное Q. Пренебрегая краевыми эффектами, определить скорость рамки, если сторона рамки a больше продольного размера зазора b, а поперечный размер l > a. Магнитное поле в зазоре однородно, а его индукция равна В. Плоскость рамки перпендикулярна В.

20. Два проволочных контура, изготовленные из одного куска провода, движутся с одинаковыми скоростями к длинному прямолинейному проводу с постоянным током. Контур 1 является квадратом со стороной a, контур 2, в виде восьмерки, состоит из двух квадратов, стороны которых равны сторонам квадрата 1. Когда они сказались на расстоянии b = 2a от провода, ток в контуре 1 был равен I₁. Чему был равен в этот момент ток в контуре 2, если известно, что индукция магнитного поля, создаваемая током провода, обратно пропорциональна расстоянию от провода? Провод и оба контура расположены в одной плоскость.

21. Два проволочных контура, изготовленные из одного куска провода, движутся к длинному прямолинейному проводу с постоянным током. Контур 1 является прямоугольником со сторонами а, 2à. Контур 2 состоит из двух прямоугольников со сторонами 2à, а. Когда оба контура находились на расстоянии b = а от провода, токи в контурах были равны. Определить отношение скоростей контуров в этот момент времени, если известно, что индукция магнитного поля, создаваемая током провода, обратно пропорциональна расстоянию от провода. Провод и оба контура расположены в одной плоскости.

22. Проволочное кольцо, состоящее из двух тонких разнородных проводников в форме полуокружностей одинаковой длины L и равного сечения, равномерно вращается с частотой f в однородном магнитном поле с индукцией В₀. Ось вращения кольца проходит по его диаметру и составляет угол 90° с вектором магнитной индукции. Определить максимальные упорядоченные скорости (относительно кольца) движения электронов в проводниках, если известны концентрации свободных электронов в проводниках п₁ и п₂ и удельные электрические сопротивления ₁ и ₂.

23. Проволочное кольцо, состоящее из двух разнородных тонких проводников в форме полуокружностей одинаковой длины L с равными площадями сечения проводников S, равномерно вращается с частотой  в однородном магнитном поле с индукцией В₀. Ось вращения кольца проходит по его диаметру и составляет 90° с вектором магнитной индукции. Найти мощность тепловых потерь в кольце, если удельные электрические сопротивления проводников равны ₁ и ₂.

24. Проволочный виток в виде кольца состоит из двух тонких проводников в форме полуокружностей одинаковой длины с равными площадями поперечного сечения, но с разными удельными электрическими сопротивлениями. Виток помещен в однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен к плоскости витка. Найти максимальные напряженности электрического поля в проводниках, если известно, что индукция В магнитного поля изменяется во времени t по гармоническому закону B(t) = B₀ cost. Длина каждого проводника равна L, а отношение удельных электрических сопротивлений проводников ₁/₂ = .

25. Проволочный виток в виде кольца состоит из двух тонких проводников в форме полуокружностей одинаковой длины L с равными площадями поперечного сечения  и с разными удельными электрическими сопротивлениями ₁ и ₂. Виток помещен в однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен к плоскости витка. Найти мощность тепловых потерь в каждом проводнике, если известно, что индукция магнитного поля изменяется во времени t по закону B(t) = B₀ (1 + sint), где В₀ и  некоторые постоянные.

1. Д ва одинаковых проводящих диска радиусами r вращаются с угловыми скоростями ₁ и ₂ (₁ > ₂) в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной их плоскостям. Центры дисков с помощью проводников присоединены к конденсатору емкостью C₁, а ободы — через скользящие контакты к конденсатору емкостью С₂. Найти напряжения, которые установятся в конденсаторах.

1. Д ва проводящих диска радиусами r₁ и r₂ вращаются с одинаковыми (по модулю) угловыми скоростями  в противоположных направлениях. Перпендикулярно плоскостям дисков направлено однородное магнитное поле с индукцией В. Центры дисков с помощью проводников присоединены к конденсатору емкостью С₁, ободы — через скользящие контакты к обкладкам конденсатора емкостью С₂. Определить , если известно, что на конденсаторе С₁ установилось напряжение U.

1. В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью пластин S и расстоянием d между ними помещен в поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением , движущейся с постоянной скоростью v параллельно пластинам. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией B, направленной вдоль пластин и перпендикулярно скорости жидкости. Найти полезную мощность, которая выделяется в виде тепла на внешней нагрузке сопротивлением R.

1. Между закороченными пластинами плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними движется параллельно пластинам с постоянной скоростью v проводящая лента толщиной k. Ширина ленты больше размеров конденсатора. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией В, направленной вдоль пластин и перпендикулярно скорости ленты. Найти наведенный заряд на пластинах конденсатора.

75. Длинная короткозамкнутая катушка индуктивности из сверхпроводящей проволоки без начального тока вносится в область однородного внешнего магнитного поля с индукцией В₀. Определить абсолютную величину момента сил, который нужно приложить к катушке для удержания ее при заданном угле .. Найти направление вращения от этого момента сил. Объем катушки равен V. Считать, что собственное поле катушки однородно, сосредоточено внутри ее объема, а величина индукции этого поля равна произведению магнитной постоянной ₀, числа витков катушки и величины тока в ней, деленному на длину катушки.

76. Обмотку короткозамкнутой катушки, находящейся во внешнем однородном магнитном поле с неизвестной индукцией B₀, охлаждением переводят в сверхпроводящее состояние. Затем величину индукции внешнего поля, не изменяя направления поля, уменьшают в три раза. После этого оказалось, что для удержания катушки при заданном угле  необходимо приложить момент сил М. Определить начальное значение индукции В₀ внешнего поля. Объем катушки V. Считать, что собственное поле катушки однородно, сосредоточено внутри ее объема, а величина индукции этого поля равна произведению магнитной постоянной ₀, числа витков катушки и величины тока в ней, деленному на длину катушки.