Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте теорему сложения.

2. Сформулируйте теорему умножения.

3. Сформулируйте теорему о полной вероятности события.

4. Сформулируйте теорему Байеса

Тема №4

Формулы Бернулли и Пуассона

Теоретическое введение.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли

,

где -вероятность появления успеха в каждом испытании; - вероятность неудачи в каждом испытании.

В случае, когда n велико, а p мало (обычно, при и ), вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

,

где .

Исследуем связь между формулами Бернулли и Пуассона. Для определенности будем считать , а

.

Тогда

При этих условиях, согласно формуле Бернулли, вероятность того, что число успехов в n испытаниях будет равно 7 дается формулой

> P(n,7):=binomial(n,7)*(4/n)^7*(1-4/n)^(n-7);

Перейдем к пределу, устремив n к бесконечности

> limit(P(n,7),n=infinity);

Формула Пуассона дает точно такой же результат

> 4^7*exp(-4)/7!;

_{Таким образом, формулу Пуассона можно определить как предельную (асимптотическую) по отношению к формуле Бернулли.}

При фиксированном значении формула Бернулли представляет собой функцию числа m (числа успехов). Пусть, как и ранее, . Построим график этой функции.

> ps:=4^m/m!*exp(-4);

> plot(ps,m=0..8);

Приведенный график свидетельствует о том, что вероятность, с ростом m до некоторого , увеличивается, а затем - уменьшается. Число называется наивероятнейшим числом появлений успеха.

Задание на практическое занятие.

Необходимо решить некоторое количество из приведенных ниже задач, сделать выводы и оформить отчет по работе. Количество задач устанавливается преподавателем.

1) Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

2) Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.0004. Найти вероятность того, что в течение минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

3) Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

4) Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

5) Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не более двух девочек.

6) Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 кубических дециметра воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

7) В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 секунд испускало в среднем 3,87 альфа-частиц. Найти вероятность того, что за 1 секунду это вещество испустит хотя бы одну альфа-частицу.

8) Сколько изюма должна в среднем содержать булочка, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюмину в булочке была не менее 0,99?

9) Двое бросают монету по n раз. Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое число гербов.

10) Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p появятся m+k успехов, причем k успехов появятся в k последних испытаниях.

11) Рыбак забросил спиннинг 100 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний?

12) В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачу в круг, четыре попадут в квадрат, три - в один сегмент и по одной - в оставшиеся три сегмента?

13) Брошено 6 правильных игральных костей. Какова вероятность выпадения: а) хотя бы одной; б) ровно одной; в) ровно двух единиц? Найти точные значения и сравнить их со значениями, вычисленными по формуле Пуассона.

14) Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности событий: а) опыт закончится не более чем за четыре бросания; б) опыт закончится за четное число бросаний.

Сделайте выводы и оформите отчет по работе. В отчете необходимо приводить условие решаемой задачи, излагаться ход её решения (обозначение событий, ссылки на определения и теоремы, в необходимых случаях – поясняющие рисунки, формулы, вычисления), результат и его оценка. Бумажный вариант отчета должен быть проверен и подписан студентом.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое "независимые испытания"? Приведите примеры.

2. Какова вероятность некоторого количества успехов в независимых испытаниях согласно формуле Бернулли?

3. Какова вероятность некоторого количества успехов в независимых испытаниях согласно формуле Пуассона?

4. Каково соотношение формул Бернулли и Пуассона?

5. Каковы условия применимости формулы Пуассона?

6. Что такое "наивероятнейшее число успехов"?

Тема №5

Предельные теоремы Муавра - Лапласа

Теоретическое введение.

Теоремы Муавра - Лапласа применяются для приближенного вычисления вероятностей того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз

и того, что в n независимых испытаниях число успехов будет находиться между значениями и

Локальная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз

равна

где p - вероятность появления успеха в каждом испытании, - вероятность неудачи в каждом испытании, а функция определяется как

Интегральная теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов находится между значениями и ,

равна

,

где p- вероятность появления успеха в каждом испытании, - вероятность неудачи в каждом испытании, а функция определяется как

и называется функцией Лапласа.

В частности, справедлива формула

,

где - частота появления успеха, p - его вероятность, - некоторое положительное число, функция, фигурирующая в правой части

,

называется дополнительной к функции Лапласа.

Приведенная выше формула указывает на то, что вероятность отклонения частоты появления успеха от его вероятности в одном испытании не более чем на  равна значению функции в точке

Приближенные формулы Муавра-Лапласа применяют в случаях, когда и .