Теоретическое введение

Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

.

Если события A и B несовместны, то

.

При решении задач часто вычисляют вероятность противоположного события , а затем находят вероятность прямого события A по формуле

.

Пусть, например, дано множество событий

.

Пусть событие В состоит в том, что наступает хотя бы одно из этих событий, начиная со второго:

Тогда вероятность такого сложного события целесообразно вычислить через вероятность противоположного события.

Очевидно, что событие состоит в том, что не наступает ни одно из событий, образующих событие . Тогда справедлива запись

и выражение

Если же события

образуют полную группу, то таким противоположным событием является событие .

Очевидно, что в этом случае справедливо выражение

Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило:

Если события A и B независимы, то есть появление одного из них не изменяет вероятность появления другого, то

Формула полной вероятности. Пусть А- произвольное событие, которое может произойти только с одним из событий, , называемых гипотезами. События несовместны, и A принадлежит сумме

Тогда для вероятности события А имеет место следующая формула:

называемая формулой полной вероятности.

Формула Байеса дает условные (в предположении, что событие А произошло) вероятности гипотез

Пример. Элементы ,..., случайным образом переставляются (все n! перестановок равновероятны). Какова вероятность того, что хотя бы один элемент окажется на своем месте? Найти .

Решение.

Пусть событие состоит в том, что хотя бы один элемент находится на своем месте. Тогда событие состоит в том, что все элементов находятся не на своих местах. Очевидно, что вероятность того, что элемент не на своем месте, равна

.

Тогда вероятность события

Тогда искомая вероятность события

Отметим, что полученный результат является функцией числа элементов .

> p(A):=1-((n-1)/n)^n;

При устремлении его к бесконечности вероятность события стремиться к фиксированному числу.

> evalf(limit(p(A),n=infinity));

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Задача 2. Бросается монета до первого появления "герба". Описать пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что потребуется четное число бросков.

Задача 3. Общество из n человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

Задача 4. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Задача 5. Электрическая цепь составлена из элементов , k=1, 2, 3 (элементы и соединены параллельно, а присоединен к ним последовательно. При выходе из строя любого элемента цепь в месте его включения разрывается. Вероятность выхода из строя за данный период элемента равна , k=1, 2, 3. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за рассматриваемый период по цепи будет проходить ток.

Задача 6. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин - дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что количество мужчин и женщин одинаково.)

Задача 7. По каналу связи может быть передана одна из трех последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС; известно, что вероятности каждой из последовательностей равны соответственно 0.3, 0.4, 0.3. В результате шумов буква принимается правильно с вероятностью 0.6. Вероятности приема переданной буквы за две другие равны 0.2 и 0.2. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что передано АААА, если на приемном устройстве получено АВСА.

Задание на практическое занятие.

Решите указанные преподавателем задачи. Сделайте выводы и оформите отчет по работе. В отчете необходимо приводить условие решаемой задачи, излагаться ход её решения (обозначение событий, ссылки на определения и теоремы, в необходимых случаях – поясняющие рисунки, формулы, вычисления), результат и его оценка. Бумажный вариант отчета должен быть проверен и подписан студентом.