АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

"РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ"

СМОЛЕНСКИЙ ФИЛИАЛ

С.П. Курилин, В.Н. Денисов

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

для специальностей

080801.65 "Прикладная информатика (в экономике)",

230201.65 "Информационные системы и технологии"

100800.62 "Товароведение"

Смоленск 2010

УДК 511.3 (075.8)

ББК 22.17

К93

Рецензент:

Малиновский А.Е. д.т.н., профессор филиала ГОУВПО "МЭИ (ТУ)" в г. Смоленске.

К93 Курилин С.П., Денисов В.Н. Теория вероятностей: учебное пособие по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" – Смоленск: Смоленский филиал АНО ВПО ЦС РФ "Российский университет кооперации", 2010. - 49 с.

Настоящее издание, представляющее собою первую часть учебного пособия по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика", включает в себя круг вопросов, относящихся к разделу "Теория вероятностей". В пособии излагается материал семи основных тем этого раздела. По каждой теме дается краткое теоретическое введение, типовые задачи и их решения, задачи для самостоятельного выполнения, вопросы для самоконтроля. Кроме того в пособии приведены, выполненные в среде Maple 11, фрагменты ЭВМ-программ для решения типовых задач. Построенное таким образом учебное пособие позволяет студентам глубже освоить содержание теоретических разделов и получить практические навыки решения задач теории вероятностей. Содержание типовых задач дано по учебникам и учебным пособиям, список которых приведен в конце сборника.

Пособие предназначено для студентов специальностей 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)» и 230201.65 "Информационные системы и технологии".

Печатается по решению редакционно-издательского совета филиала (протокол № от 2010).

Печатается в авторской редакции

 АНО ВПО ЦС РФ

"Российский университет кооперации"

Смоленский филиал, 2010

 Курилин С.П., 2010

 Денисов В.Н., 2010

Введение

В окружающем нас мире возникает немало ситуаций, исходы которых предсказать заранее невозможно. Например, подбрасывая монету, мы не знаем, какой стороной она упадет. Стреляя однотипными снарядами без изменения наводки орудия, в одну точку попасть практически невозможно. Производя повторные измерения, например, скорости или расстояния, обычно получают лишь приблизительно равные, но разные результаты. Невозможно абсолютно точно предсказать как объемы продаж товаров за фиксированный промежуток времени, так и сумму доходов, получаемых от реализации последних. Все эти эксперименты производятся в одинаковых условиях, а исходы их различны и непредсказуемы заранее. Такие исходы называются случайными исходами или случайными событиями.

Примерами случайных событий являются: курсы валют; доходность акций; цена реализованной продукции; стоимость выполнения больших проектов; продолжительность жизни человека; результаты выборов и многое другое. Случайность и потребность в консолидации усилий по борьбе с неопределённостью (природы, рынка и т.д.), создание структур для возмещения неожиданного ущерба за счет взносов всех участников, породила теорию и институты страхования. При этом интуитивно ясно, что случайные явления, происходящие даже с однотипными объектами, могут качественно отличаться друг от друга. Например, продолжительности жизни в разных странах и в разные эпохи могут принципиально отличаться друг от друга. Первобытные люди жили около 30-40 лет, даже в России за последние годы она подвергается значительным изменениям, то поднималась до 70 лет, затем начала значительно падать, более того, она различается на 10-15 лет для мужчин и женщин. Суммы, выручаемые от реализации товаров на рынке, во многом диктуются случаем – от платежеспособного спроса населения до поведения конкурентов и умения привлечь клиентов. Броуновское движение частиц также существенно изменяется при изменении температуры (скоростей движения частиц), плотности среды и возможных течений (регулярного сноса частиц в разных направлениях и с различными скоростями).

Изучением случайных явлений занимается специальный раздел математики – теория вероятностей. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя возможности выигрыша в азартных играх, Б. Паскаль и П. Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании игральных костей.

Существенный вклад в теорию вероятностей внёс Я. Бернулли: он дал доказательство простейшей формы закона больших чисел – теоремы о связи между вероятностью события и частотой его появления. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться К. Гауссом к анализу ошибок наблюдений; П. Лаплас и С. Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века существенный вклад в развитие теории вероятностей внесли русские учёные П. Чебышев, А. Марков и А. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматике, предложенной А. Колмогоровым. В её результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Тема №1

ВЕРОЯТНОСТЬ

Теоретическое введение.

1 Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Испытание (опыт) может быть осуществлено человеком, но может проводиться и независимо от человека, выступающего в этом случае в роли наблюдателя.

Приведем примеры событий.

1. Выпадение герба при подбрасывании монеты.

2. Выигрыш автомобиля по билету денежно-вещевой лотереи.

3. Выход бракованного изделия с конвейера предприятия.

4. Выпадение более 1000 мм осадков в данном географиче­ском пункте за определенный год.

Событие трактуется как возможный исход, результат испытания (опыта, эксперимента, наблюдения). События обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита: А, В, С. Допускается употребление прописных букв кириллицы А, Б, В.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой событие В (входит в В или благоприятствует В) и обозначают

Например, если событие А — изделие 1-го сорта, В— изделие 2-го сорта, С — изделие стандартное, то

и .

Если одновременно

и ,

то в этом случае события А и В называются равносильными.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными.

Например, выигрыш по одному билету денежно-вещевой лотереи двух ценных предметов — события несовместные, а выигрыш тех же предметов по двум билетам — события совместные. Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично», «хорошо» и «удовлетворительно» — события несовместные, а получение тех же оценок на экзаменах по трем дисциплинам — события совместные.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти. Например, если в партии все изделия стандартные, то извлечение из нее стандартного изделия — событие достоверное, а извлечение при тех же условиях бракованного изделия — событие невозможное.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Например, извлечение туза, валета, короля или дамы из колоды карт либо появление герба или решки при подбрасывании монеты — события равновозможные. Так, если монета «правильная», выполнена симметрично, то нет никаких оснований считать «появление герба» при подбрасывании монеты событием объективно более возможным, чем «появление решки».

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них. Словосочетание «хотя бы одно» следует понимать как «одно или несколько, или все». Например, события, состоящие в том, что 10 ноября : А — «будет дождь», В — «будет снег», С — «не будет ни дождя, ни снега» — являются единственно возможными

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Например, события, состоящие в том, что в семье из двух детей: D — «два мальчика», E — «один мальчик, одна девочка», F — «две девочки» — образуют полную группу, так как они единственно возможные и несовместные. События А, В, С полной группы не образуют, так как события А и В - совместны (дождь и снег могут быть в один и тот же день, 10 ноября).

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Событие, противоположное событию А, будем обозначать .

Например, «выпадение герба» и «выпадение решки» при подбрасывании монеты, «отсутствие бракованных изделий» и «наличие хотя бы одного бракованного изделия» в партии — события противоположные.

2 Вероятность

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события.

Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно таким стало, необходимо определить его количественно.

2.1 Геометрическое определение вероятности

Представим себе, что на прямоугольник Ω (см. рисунок 1) бросается точка «а».

Будем считать, что попадание точки в прямоугольник – событие достоверное, вероятность которого

Будем считать также, что при двух испытаниях попадание в любые две точки прямоугольника - события равновозможные. Вместе с тем, точка может попасть в область А (заштрихованный овал внутри прямоугольника), а может и не попасть в него. Во втором случае точка попадет в незаштрихованную область прямоугольника . Обозначим эти события следующим образом

событие состоит в том, что ;

событие состоит в том, что .

Очевидно, что оба события образуют полную группу – точка попадет либо в область , либо в область . Эти области на рисунке 1 изображают вероятные события.

Вероятностью события называется отношение площадей областей и Ω

Из определения следует, что вероятность события равна